(1)Lucas定理:p为素数,则有:

(2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 =  [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) 。我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理。对于模p而言,我们有下面的式子成立:

上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余。其中左边的x^m的系数是 C(n,m)。 而由于a0和b0都小于p,因此右边的x^m 一定是由 x^([m/p]*p) 和 x^b0 (即i=[m/p] , j=b0 ) 相乘而得 因此有:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)  (mod p)。

(3)拓展应用:上面的p是素数,那么不是素数怎么办呢?若不是素数,将p分解质因数,将C(n,m)分别按照(1)中的方法求对p的质因数的模,然后用中国剩余定理合并。比如计算C(10,3)%14。C(10,3)=120,14有两个质因数2和7,120%2=0,120%7=1,这样用(2,0)(7,1)找到最小的正整数8即是答案,即C(10,3)%14=8。注意,这里只适用于p分解完质因数后每个质因数只出现一次,例如12=2*2*3就不行,因为2出现了两次。若p分解完质因数后,含有某个质因数出现多次,比如C(10,3)%98,其中98=2*7*7,此时就要把7*7看做一个数,即:120%2=0,120%49=22,用(2,0)(49,22)和中国剩余定理得到答案22,即C(10,3)%98=22。此时,你又会有疑问,C(10,3)%49不也是模一个非素数吗?此时不同的是这个非素数不是一般的非素数,而是某个素数的某次方。下面(4)介绍如何计算C(n,m)%p^t(t>=2,p为素数)。

(4)计算C(n,m)%p^t。我们知道,C(n,m)=n!/m!/(n-m)!,若我们可以计算出n!%p^t,我们就能计算出m!%p^t以及(n-m)!%p^t。我们不妨设x=n!%p^t,y=m!%p^t,z=(n-m)!%p^t,那么答案就是x*reverse(y,p^t)*reverse(z,p^t)(reverse(a,b)计算a对b的乘法逆元)。那么下面问题就转化成如何计算n!%p^t。比如p=3,t=2,n=19,

n!=1*2*3*4*5*6*7*8* ……*19

=[1*2*4*5*7*8*… *16*17*19]*(3*6*9*12*15*18)

=[1*2*4*5*7*8*… *16*17*19]*3^6(1*2*3*4*5*6)

然后发现后面的是(n/p)!,于是递归即可。前半部分是以p^t为周期的[1*2*4*5*7*8]=[10*11*13*14*16*17](mod 9)。下面是孤立的19,可以知道孤立出来的长度不超过 p^t,于是暴力即可。那么最后剩下的3^6啊这些数怎么办呢?我们只要计算出n!,m!,(n-m)!里含有多少个p(不妨设a,b,c),那么a-b-c就是C(n,m)中p的个数,直接算一下就行。

至此整个计算C(n,m)%p(p为任意数)的问题完美解决。下面给出代码:

i64 POW(i64 a,i64 b,i64 mod)
{
i64 ans=1;
while(b) {
if(b&1) ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
} i64 POW(i64 a,i64 b)
{
i64 ans=1;
while(b)
{
if(b&1) ans=ans*a;
a=a*a;
b>>=1;
}
return ans;
} i64 exGcd(i64 a,i64 b,i64 &x,i64 &y)
{
i64 t,d;
if(!b)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
d=exGcd(b,a%b,x,y);
t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return d;
} bool modular(i64 a[],i64 m[],i64 k)
{
i64 d,t,c,x,y,i; for(i=2;i<=k;i++)
{
d=exGcd(m[1],m[i],x,y);
c=a[i]-a[1];
if(c%d) return false;
t=m[i]/d;
x=(c/d*x%t+t)%t;
a[1]=m[1]*x+a[1];
m[1]=m[1]*m[i]/d;
}
return true;
} i64 reverse(i64 a,i64 b)
{
i64 x,y;
exGcd(a,b,x,y);
return (x%b+b)%b;
} i64 C(i64 n,i64 m,i64 mod)
{
if(m>n) return 0;
i64 ans=1,i,a,b;
for(i=1;i<=m;i++)
{
a=(n+1-i)%mod;
b=reverse(i%mod,mod);
ans=ans*a%mod*b%mod;
}
return ans;
} i64 C1(i64 n,i64 m,i64 mod)
{
if(m==0) return 1;
return C(n%mod,m%mod,mod)*C1(n/mod,m/mod,mod)%mod;
} i64 cal(i64 n,i64 p,i64 t)
{
if(!n) return 1;
i64 x=POW(p,t),i,y=n/x,temp=1;
for(i=1;i<=x;i++) if(i%p) temp=temp*i%x;
i64 ans=POW(temp,y,x);
for(i=y*x+1;i<=n;i++) if(i%p) ans=ans*i%x;
return ans*cal(n/p,p,t)%x;
} i64 C2(i64 n,i64 m,i64 p,i64 t)
{
i64 x=POW(p,t);
i64 a,b,c,ap=0,bp=0,cp=0,temp;
for(temp=n;temp;temp/=p) ap+=temp/p;
for(temp=m;temp;temp/=p) bp+=temp/p;
for(temp=n-m;temp;temp/=p) cp+=temp/p;
ap=ap-bp-cp;
i64 ans=POW(p,ap,x);
a=cal(n,p,t);
b=cal(m,p,t);
c=cal(n-m,p,t);
ans=ans*a%x*reverse(b,x)%x*reverse(c,x)%x;
return ans;
} //计算C(n,m)%mod
i64 Lucas(i64 n,i64 m,i64 mod)
{
i64 i,t,cnt=0;
i64 A[205],M[205];
for(i=2;i*i<=mod;i++) if(mod%i==0)
{
t=0;
while(mod%i==0)
{
t++;
mod/=i;
}
M[++cnt]=POW(i,t);
if(t==1) A[cnt]=C1(n,m,i);
else A[cnt]=C2(n,m,i,t);
}
if(mod>1)
{
M[++cnt]=mod;
A[cnt]=C1(n,m,mod);
}
modular(A,M,cnt);
return A[1];
}
//代码仅供参考,正确性不得而知,知道思路即可!

Lucas定理学习(进阶中)的更多相关文章

  1. lucas 定理学习

    大致意思就是求组合数C(n , m) % p的值, p为一个偶数 可以将组合数的n 和 m都理解为 p 进制的表示 n  = ak*p^k + a(k-1)*p^(k-1) + ... + a1*p ...

  2. Lucas定理学习小记

    (1)Lucas定理:p为素数,则有: (2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 =  [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们 ...

  3. Lucas定理学习笔记

    从这里开始 一个有趣的问题 扩展Lucas算法 一个有趣的问题 题目大意 给定$n, m, p$,求$C_{n}^{m}$除以$p$后的余数. Subtask#1  $0\leqslant m\leq ...

  4. lucas定理学习

    Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p,p为素数的值. 表达式: C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p 当我们遇到求一个N,M很大的组合数的时候,递推法就显得很耗 ...

  5. js学习进阶中-bind()方法

    有次面试遇到的,也是没说清楚具体的作用,感觉自己现在还是没有深刻的理解! bind():绑定事件类型和处理函数到DOM element(父元素上) live():绑定事件到根节点上,(document ...

  6. Lucas定理学习笔记(没有ex_lucas)

    题目链接\(Click\) \(Here\) \(ex\_lucas\)实在是不能学的东西...简单学了一下\(Lucas\)然后打算就这样鸽着了\(QwQ\)(奶一口不可能考) 没什么复杂的,证明的 ...

  7. JS学习进阶中 come on!

    1,定义新的属性来扩展对象 新方法:defineProperty() 实例: var data = {}: Object.defineProperty(data,"type",{ ...

  8. [Lucas定理]【学习笔记】

    Lucas定理 [原文]2017-02-14 [update]2017-03-28 Lucas定理 计算组合数取模,适用于n很大p较小的时候,可以将计算简化到小于p $ \binom{n}{m} \m ...

  9. [学习笔记]扩展LUCAS定理

    可以先做这个题[SDOI2010]古代猪文 此算法和LUCAS定理没有半毛钱关系. [模板]扩展卢卡斯 不保证P是质数. $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ 麻烦的是分母. 如果互 ...

随机推荐

  1. HDU1494(dp)

    跑跑卡丁车 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submi ...

  2. Win下 MySQL数据库安装与配置详解

    第一步 从官网下载安装包 (本次只写安装版的32位的mysql) 1. https://www.mysql.com/downloads/ 下载的官网地址 一直滑到最下面 然后点第一个 然后选第一个 这 ...

  3. C#100万条数据导入SQL SERVER数据库仅用4秒 (附源码)

    作者: Aicken(李鸣)  来源: 博客园  发布时间: 2010-09-08 15:00  阅读: 4520 次  推荐: 0                   原文链接   [收藏] 摘要: ...

  4. JS验证电话号是否合法

    /******************** 函数名称:IsTelephone 函数功能:固话,手机号码检查函数,合法返回true,反之,返回false 函数参数:obj,待检查的号码 检查规则: (1 ...

  5. HDU 4256 The Famous Clock

    The Famous Clock Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) ...

  6. DEV下拉框LookUpEdit使用技巧

    1,首先设置LookUpEdit要绑定的列,并配置隐藏列 2,设置下拉框是否显示表头,底部 3.设置下拉框宽度 4.设置显示的列与值列 5.设置初始值 6,绑定数据 7,取值  

  7. 读书笔记 effective c++ Item 7 在多态基类中将析构函数声明为虚析构函数

    1. 继承体系中关于对象释放遇到的问题描述 1.1 手动释放 关于时间记录有很多种方法,因此为不同的计时方法创建一个TimeKeeper基类和一些派生类就再合理不过了: class TimeKeepe ...

  8. Finding distance between two curves

    http://answers.opencv.org/question/129819/finding-distance-between-two-curves/ 问题: Hello, Im trying ...

  9. 使用Bootstrap + Vue.js实现 添加删除数据

    界面首先需要引入bootstrap的css和bootstrap的js文件,还有vue.js和jQuery.js才可以看见效果. 这里提供bootstrap的在线文件给大家引用: <!-- 最新版 ...

  10. 【转】CXF+Spring+Eclipse简明示例

    多系统(异构系统)进行交互时,一种良好的方式便是调用Web Service,本示例基于Apache组织的CXF,为了方便起见特将服务端和客户端写在同一个工程下,实际项目中是不可能的,但是客户端却依赖于 ...