bzoj 1041 数学推理

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我们只需要求第一象限内（不包括坐标轴）的点数然后ans=ans*4+4就好了

首先我们知道圆上点的方程关系

x*x+y*y=r*r

那么我们变下型

Y*Y=R*R-X*X

Y*Y=(R-X)*(R+X)        ①

我们令d=gcd(r-x,r+x)

设A=（r-x)/d;

B=(r+x)/d;

因为我们要求x为整数，那么需要A,B为整数

将A,B带回①可得

A*B*d*d=y*y

因为我们要求y为整数，那么需要A*B*d*d为完全平方数

因为点在第一象限内，所以A<>B,所以A,B应为完全平方数

那么当A,B为完全平方数时，x,y为整数

那么我们可以设A=a*a; B=b*b;

则有a*a=(r-x)/d;  b*b=(r+x)/d;

那么两式相加，得到a*a+b*b=2*r/d；

那么只要a,b为整数，就可以得到一组整点

那么我们可以知道d|2*r

所以我们可以枚举2*r的因数，对于每个因数（每个因数对应一对儿因数，分别是d和2*r/d）

假设因数是d的时候，因为a<b所以2*a*a<2*r/d， 所以a*a<r/d 那么我们可以枚举a<sqrt(r/d)，

对于每个a我们可以算出b,相对应的A,B应满足gcd(A,B)=1且A<>B如果满足，就累加答案

 /**************************************************************
     Problem:
     User: BLADEVIL
     Language: Pascal
     Result: Accepted
     Time: ms
     Memory: kb
 ****************************************************************/
 
 //By BLADEVIL
 var
     r                           :int64;
     ans                         :int64;
 
 function gcd(a,b:int64):int64;
 begin
     if b>a then exit(gcd(b,a)) else
     if b= then gcd:=a else gcd:=gcd(b,a mod b);
 end;
 
 function check(y:int64;x:extended):boolean;
 var
     x1                          :int64;
 begin
     if x=trunc(x) then
     begin
         x1:=trunc(x);
         if (gcd(x1*x1,y*y)=) and (x1*x1<>y*y) then
         begin
             exit(true);
         end;
     end;
     exit(false);
 end;
 
 procedure main;
 var
     d, a                        :longint;
     b                           :extended;
 begin
     read(r);
     for d:= to trunc(sqrt(*r)) do
     begin
         if (*r) mod d= then
         begin
             for a:= to trunc(sqrt(r/d)) do
             begin
                 b:=sqrt(((*r)/d)-a*a);
                 if check(a,b) then ans:=ans+;
             end;
             if d<>((*r) div d) then
             for a:= to trunc(sqrt(d/)) do
             begin
                 b:=sqrt(d-a*a);
                 if check(a,b) then ans:=ans+;
             end;
         end;
     end;
     writeln(ans*+);
 end;
 
 begin
     main;
 
 end.