HDU 2554 N对数的排列问题 （ 数学 ）

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Problem Description

有N对双胞胎，他们的年龄分别是1，2，3，……，N岁，他们手拉手排成一队到野外去玩，要经过一根独木桥，为了安全起见，要求年龄大的和年龄小的排在一起，好让年龄大的保护年龄小的，然后从头到尾，每个人报告自己的年龄，就得到了一个年龄的序列。比如有4对双胞胎，他们报出来的年龄序列是：41312432。突然，他们中间最聪明的小明发现了一个有趣的现象，原来，这个年龄序列有一个规律，两个1中间有1个数，两个2中间有2个数，两个3中间有3个数，两个4中间有4个数。但是，如果是2对双胞胎，那么无论他们怎么排年龄序列，都不能满足这个规律。

你的任务是，对于给定的N对双胞胎，是否有一个年龄序列，满足这一规律，如果是，就输出Y，如果没有，输出N。

Input

共有若干行，每行一个正整数N<100000，表示双胞胎的数量；如果N=0，表示结束。

Output

共有若干行，每行一个正整数，表示对应输入行是否有一个年龄序列，满足这一规律，如果是，就输出Y，如果没有，输出N

Sample Input

4
2
1309
0

Sample Output

Y
N
N

分析：

这题可以这样来抽象：

n对数，大小为1、2、3、...、n。现要求两个1之间有1个数，两个2之间有2个数，以此类推，两个n之间有n个数。

并且，数的次序可以随意的。

解决之道：

准备知识：

①n对数，共2n个数。所以要有2n个位置来放置这2*n个数。②sum()表示求和运算。

正式解决：

①设k（k=1,2,..,n)放置的第一个位置为ak，第二个位置为bk。显然有bk-ak=k+1（假定下一个位置在上一个位置之前）。

那么会有sum(bk-ak)=2+3+4+...+(n+1)=(1+2+3+...+n)+(1+1+...+1)=n*(n+1)/2+n。

②又因为要有2n个位置来放置这2n个数。则sum(ak+bk)=1+2+3+...+2n=(1+2n)(2n)/2=(1+2n)n。

③sum(ak+bk)=sum(ak+ak+k+1)=sum(2ak+bk-ak)=2sum(ak)+sum(bk-ak)=2sum(ak)+n(n+1)/2+n。

④比较②③可得：(1+2n)n=2sum(ak)+n(n+1)/2+n。可得sum(ak)=n(3n-1)/4。

⑤就像前面已经说过的一样，ak表示数k第一次出现的位置。ak不易确定。当可以肯定的是sum(ak)一定为正整数。

那么就会有n=4p或者3n-1=4*p（p为正整数）。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n,n)
    {
        if(n%4==0||(3*n-1)%4==0)
            printf("Y\n");
        else
            printf("N\n");
    }
    return 520;
}