[bzoj2893] 集合计数
Description
一个有N个元素的集合有2^N 个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得
它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007。(是质数喔~)
Input
一行两个整数N,K
Output
一行为答案。
Sample Input
3 2
Sample Output
6
HINT
【样例说明】
假设原集合为{A,B,C}
则满足条件的方案为:{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB},{AC},{BC}
【数据说明】
对于100%的数据,1≤N≤1000000;0≤K≤N;
题解
bzoj题目链接(权限题)
前置知识:广义容斥原理
考虑对于每个方案作为一个元素,每一位相同作为一个性质。
考虑在\(n\)个里选\(x\)个,要满足这\(x\)个性质,即集合中有\(x\)个相同,剩下\(n-x\)个集合里的元素可选可不选,但是不能都不选,要减去空集的一个,注意这里的集合指的是题目中的集合,
所以可得:
\]
然后设\(\beta (x)\)为恰好有x个性质的元素个数,可得:
\]
答案为\(\beta (k)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) x=-x,putchar('-');
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+'0');
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
#define maxn 1000050
#define mod 1000000007
int n,fac[maxn],ifac[maxn],f[maxn],k;
int qpow(int a,int x) {
int res=1;
for(;x;x>>=1,a=a*a%mod) if(x&1) res=res*a%mod;
return res;
}
signed main() {
read(n),read(k);f[0]=2,fac[0]=ifac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*f[i-1]%mod,fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
for(int i=n-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
int ans=0;
for(int op=-1,i=k;i<=n;i++) {
op=-op;
ans=(ans+op*fac[n]*ifac[i]%mod*ifac[n-i]%mod*(f[n-i]-1)%mod*fac[i]%mod*ifac[k]%mod*ifac[i-k]%mod)%mod;
}
write((ans%mod+mod)%mod);
return 0;
}
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