1、What is AVL tree?

AVL tree 是一种特殊的二叉查找树,,首先我们要在树中引入平衡因子balance,表示结点右子树的高度减去左子树的高度差(右-左),对于一棵AVL树要么它是一棵空树,要么它是一棵高度平衡的二叉查找树,平衡因子balance绝对值不超过1

                                   

非平衡的二叉查找树                                                            平衡的二叉查找树

根据定义,任意结点的平衡因子只能取-1、0、1

AVL搜索算法复杂度为log(n)

2、AVL树的插入

在向一棵AVL树中插入一个新结点时,如果树中某个结点的平衡因子的绝对值|balance|>1,则出现了不平衡,需要做平衡化处理。

在插入的位置可能要进行平衡旋转

每插入一个新结点时,AVL树中相关结点的平衡状态发生改变,因此,在插入一个新结点后,需要从插入位置沿通向根的路径回溯,检查各结点的平衡因子。

(1)右单旋转

(盗图)

插入了结点2,AVL树失衡了,现在要通过右单旋转将其化为AVL树

以结点3为旋转轴,将结点2与结点5顺时针旋转

将3变为根,5变为叶子节点

转后结果:

//右单旋转
void R_Rotate(BSTree &p)
{
BSTree rc;
rc=p->lchild;
p->lchild=rc->rchild;
rc->rchild=p;
p=rc;
}

  

(2)左单旋转

与右单旋转类似

算法

//左单旋转
void L_Rotate(BSTree &p)
{
BSTree lc;
lc=p->rchild;
p->rchild=lc->lchild;
lc->lchild=p;
p=lc;
}

 

(3)双旋转

如果是如下方式插入那么怎么办呢?

(盗图)

很明显的是单用左单旋转与右单旋转是无法解决问题的

要用左单与右单结合来做

对于上图中的情况先左旋在右旋

左旋:

其实就是化为能够进行右旋的形式

右旋:

3、分析

失去平衡的最小子树的根结点必然离插入结点最近,平衡因子的绝对值在插入之前大于0

(1)在查找S结点的插入位置过程中,记录与S结点最近,且平衡因子不等于零的结点a

(2)修改自a到S的路径上所有结点的平衡因子

(3)判断树是否出现不平衡,即a的平衡因子是否大于1

(4)若出现不平衡,进行平衡调整

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