2019牛客多校第五场 generator 1——广义斐波那契循环节&&矩阵快速幂

理论部分

二次剩余

在数论中，整数 $X$ 对整数 $p$ 的二次剩余是指 $X^2$ 除以 $p$ 的余数。

当存在某个 $X$，使得式子 $X^2 \equiv d(mod \ p)$ 成立时，称“ $d$ 是模 $p$ 的二次剩余”

当对任意 $X$，$X^2 \equiv d(mod \ p)$ 都不成立时，称“ $d$ 是模 $p$ 的二次非剩余”

矩阵的相似对角化

相似矩阵：对于矩阵 $A$ 和 $B$，若存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$，则称 $A$ 相似于 $B$，记作 $A\sim B$。

矩阵可对角化是指与对角矩阵相似，即 $P^{-1}AP = diag(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _n)$

定理：$n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。简单的判断就是 $|A| \neq 0$.

分析

来源于 acdreamers 的广义Fibonacci数列找循环节，这里只是梳理一下。

将递推式表示成转移矩阵的形式，相当于只需找到转移矩阵的周期。

即求最小的 $n$，使得

$${\begin{bmatrix} a & b\\ 1 & 0 \end{bmatrix}}^n(mod \ p) = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

我们可以找到一个满足条件的 $n$，然后枚举其因子。

设 $A$ 相似于 $D$，$A$ 的特征根分别为 $\lambda _1,\lambda _2$.

则D为

$D = \begin{bmatrix} \lambda _1 & 0\\  0 & \lambda _2 \end{bmatrix}$

因为 $A^n = T^{-1}D^nT$，所以 $D^n \equiv I(mod \ p)$ 时，$D^n \equiv I(mod \ p)$

由于$$D^n = {\begin{bmatrix} \lambda _1 & 0\\  0 & \lambda _2 \end{bmatrix}}^n = \begin{bmatrix} \lambda _1^n & 0\\  0 & \lambda _2^n \end{bmatrix}(mod \ p) = I$$

于是 $\lambda _1^n\equiv 1(mod \ p),\ \lambda _2^n\equiv 1(mod \ p)$.

如何找到 $n$ 呢？

直接上结论吧！（看不懂了555）

设 $\Delta  = a^2+4b$

• 若 $\Delta$ 是 $p$ 的二次剩余，$n=p-1$
• 若 $\Delta$ 是 $p$ 的二次非剩余，$n=(p+1)(p-1)$
• 若 $\Delta=p$，则无法相似化。幸好题目不会出现这种情况

上述结论还是针对 $p$ 为素数，$p$ 为合数呢？

首先，质因数分解 $p=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}$,

设 $g(x)$ 为模 $x$ 时循环节长度，有结论 $g(p_i^{a_i}) = p_i^{a_1-1} g(p_i)$

所以

$$
\begin{aligned}
g(x) & =g(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k})\\
&= p_1^{a_1-1} g(p_1) \cdot  p_2^{a_2-1} g(p_2) ...  p_k^{a_k-1} g(p_k)\\
&= (p / p_1p_2... p_k) g(p_1)g(p_2) ...   g(p_k)
\end{aligned}$$

实现

二次剩余我又不会判断，直接当作 $(p+1)(p-1)$，大不了多个倍数。

按道理最小的循环节不是 $n$，而是 $n$ 的因数，感觉分解再判断挺麻烦的，不管了，大不了多个倍数。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
const int N=+;
ll x0,x1,a,b,n,mod;
char s[N];
 
const int maxn =  + ;       //p最为2e9，不会有两个超过1e5的质因数
int prime[maxn], pcnt;            //prime[i]表示第i个素数
bool is_prime[maxn + ];    //is_prime[i]为true表示i是素数
int sieve(int n)
{
    int cnt = ;
    for (int i = ; i <= n; i++)  is_prime[i] = true;
    is_prime[] = is_prime[] = false;
    for (ll i = ; i <= n; i++)
    {
        if (is_prime[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            for (ll j = i * i; j <= n; j += i)  is_prime[j] = false;  //i * i可能爆int
        }
    }
    return cnt;
}
 
ll solve(ll x){
    ll ans1=,ans2=,xx=x;
    for(int i=;i<pcnt;i++){
        if(1ll*prime[i]*prime[i]>x) break;
        if(x%prime[i]==){
            ans1*=(prime[i]-)*(prime[i]+);
            ans2*=prime[i];
            while(x%prime[i]==) x/=prime[i];
        }
    }
    if(x>){
        ans1*=(x-)*(x+);
        ans2*=x;
    }
    return xx/ans2*ans1;
}
ll qmul(ll x,ll y,ll p){        //快速乘
    x%=p;
    y%=p;
    ll ans=;
    while(y){
        if(y&){
            ans+=x;
            if(ans>=p) ans-=p;  //这样写不能有负数
        }
        x<<=;
        if(x>=p) x-=p;
        y>>=;
    }
    return ans;
}
 
struct Mat{
    int r,c;
    ll m[][];
    Mat(){
        memset(m,,sizeof(m));
    }
};
 
Mat mmul(Mat x,Mat y,ll p){
    Mat ans;
    ans.r=x.r;
    ans.c=y.c;
    for(int i=;i<x.r;i++)
        for(int k=;k<x.c;k++)
            for(int j=;j<y.c;j++){
                ans.m[i][j]+=qmul(x.m[i][k],y.m[k][j],p);
                if(ans.m[i][j]>=p) ans.m[i][j]-=p;
            }
    return ans;
}
Mat mpow(Mat x,ll y,ll p){
    Mat ans;
    ans.r=x.r;
    ans.c=x.c;
    for(int i=;i<ans.c;i++) ans.m[i][i]=;
    while(y){
        if(y&) ans=mmul(ans,x,p);
        x=mmul(x,x,p);
        y>>=;
    }
    return ans;
}
int main(){
    pcnt = sieve();
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&x0,&x1,&a,&b) == ){
        scanf("%s%lld",s,&mod);
        ll lop=solve(mod);  //循环节长度
        n=;
        int lens=strlen(s);
        for(int i=;i<lens;i++){
            n=qmul(n,,lop)+s[i]-'';
            if(n>=lop) n-=lop;
        }
        Mat A,T;
        A.r=; A.c=;
        A.m[][]=x1; A.m[][]=x0;
        T.r=; T.c=;
        T.m[][]=a; T.m[][]=b; T.m[][]=;
        if(n>){
            T=mpow(T,n-,mod);
            A=mmul(T,A,mod);
        }
        printf("%lld\n",A.m[][]);
    }
    return ;
}

参考链接：

1. 分析： https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/25616461

2. 代码：https://www.cnblogs.com/LMCC1108/p/11286388.html