BZOJ2144 跳跳棋[建模+LCA]

思维题，思路比较神仙。

个人思路过程：个人只想到了只要中间棋子开始向外跳了，以后就不应该向内跳了，这样很蠢。所以应该要么先向内跳一会，要么直接开始中间的向外跳。不知道怎么处理，就卡住了。

20pts：暴力BFS。

事实上，这题的解题关键就在于一次只允许跳过1颗棋子，这表明向内跳只能是距离中间棋子近的那个向内跳，跳法唯一。

再看向外跳是有两种的，中间的子越过左子，或者越过右子。发现中间的子向外跳和外侧的子向内跳是一个可逆过程。

假设向外跳中，向左跳是左儿子，向右跳是右儿子，那么这两个儿子有共同且唯一的父亲，也就是向内跳的操作，这样的一棵二叉树恰好与上述情形相对应。

这样，如果要判断是否有解，只要看这两个状态一直向内跳，到不能再向内（与中间子距离相等）时，也就是到了树根，如果树根相同，则有解，不同的话肯定无解。因为树根所有向外跳的状态构成了一个封闭的状态集合，不同集合无交集。

有解的话也就是求树上两点最短距离了。但是由于数据过大，没办法建树，而且一步一步跳显得很慢，$O(depth)$。为了加速，可以采用取模，在纸上画一下即可发现当两个棋子反复互相跳过的时候，实际可以取模处理，详见code。

这样，采用倍增lca思想，不断向上跳即可。$O(depth\text{log}depth)$。

WA*1：line32code手残打错。。以后敲代码敲错的情况尽量少犯

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #define dbg(x) cerr << #x << " = " << x <<endl
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef double db;
 typedef pair<int,int> pii;
 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A>B?(A=B,):;}
 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A<B?(A=B,):;}
 template<typename T>inline void _swap(T&A,T&B){A^=B^=A^=B;}
 template<typename T>inline T read(T&x){
     x=;int f=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=;
     while(isdigit(c))x=x*+(c&),c=getchar();return f?x=-x:x;
 }
 struct sangen{
     int x,y,z;
     sangen(int x=,int y=,int z=):x(x),y(y),z(z){}
     inline bool operator ==(const sangen&B)const{return x==B.x&&y==B.y&&z==B.z;}
     inline bool operator !=(const sangen&B)const{return (x^B.x)||(y^B.y)||(z^B.z);}
     inline void shiage(){if(x>y)swap(x,y);if(x>z)swap(x,z);if(y>z)swap(y,z);}
     inline void print(){printf("x=%d  y=%d  z=%d\n",x,y,z);}
 };
 inline sangen tobi(sangen A,int k){
     int a=A.y-A.x,b=A.z-A.y,tmp;
     while((a^b)&&k){
         if(a>b)tmp=(a-)/b,k>=tmp?(k-=tmp,a%=b,!a&&(a=b)):(a-=k*b,k=),A.y=A.x+a,A.z=A.y+b;
         else tmp=(b-)/a,k>=tmp?(k-=tmp,b%=a,!b&&(b=a)):(b-=k*a,k=),A.y=A.z-b,A.x=A.y-a;
     }
     return A;
 }
 int d1,d2,k;
 inline sangen get_root(sangen A){
     int a=A.y-A.x,b=A.z-A.y;k=;
     while(a^b){
         if(a>b)k+=(a-)/b,a%=b,!a&&(a=b),A.y=A.x+a,A.z=A.y+b;
         else k+=(b-)/a,b%=a,!b&&(b=a),A.y=A.z-b,A.x=A.y-a;
     }
     return A;
 }
 sangen A,B,tmp1,tmp2;
 inline int lca(){
     if(d1<d2)B=tobi(B,d2-d1);
     else A=tobi(A,d1-d2);//A.print(),B.print();
     if(A==B)return abs(d1-d2);
     int d=_min(d1,d2),ret=abs(d1-d2);
     for(register int i=__lg(d);~i;--i){//dbg(i);
         tmp1=tobi(A,<<i);tmp2=tobi(B,<<i);//tmp1.print(),tmp2.print();
         if(tmp1!=tmp2)A=tmp1,B=tmp2,ret+=<<i;
     }
     return ret+;
 }

 int main(){//freopen("test.in","r",stdin);//freopen("test.ans","w",stdout);
     read(A.x),read(A.y),read(A.z),read(B.x),read(B.y),read(B.z);
     A.shiage(),B.shiage();
     sangen tmp1=get_root(A);d1=k;
     sangen tmp2=get_root(B);d2=k;//dbg(d1),dbg(d2);
     if(tmp1!=tmp2){puts("NO");return ;}
     printf("YES\n%d\n",lca());
     return ;
 }

启示：应当根据性质发现这样一种树形关系。当发现这种变换问题且数据较大，考虑图论建模