题目链接

点我跳转

题目大意

给定一个长度为 \(N\) 的序列 \(A\)

有 \(Q\) 次操作,每次操作给定两个数 \(i\) , \(X\),使得 \(A[i] = A[i] \times X\)

问每次操作后整个序列的 \(gcd\) 为多少 (对 \(1e9+7\) 取模)

解题思路

显然 \(gcd\) 不满足同余定理 ( \(gcd(4,6) \% 3\) \(!=\) \(gcd(4\%3,6)\%3\) )

而 \(A[i]\) 和 \(X\) 最大值都不超过 \(2e5\) , 所以可考虑质因子分解

首先要知道对于一个数它的质因子个数是 \(log\) 级别的

有个贪心的证明方法

要让一个数的质因子最多,那这个数的质因子就应该尽可能小

那么就让他的质因子为 \(2,3,5,7,11,13,...\)

那么它就等于 \(2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 ×...\)

当乘到 \(29\) 时,它已经大于 \(6e9\) 了,所以一个数的质因子个数是 \(log\) 级别的

于是可以用 \(map\) 开个二维动态数组 \(f[i][j]\),\(f[i][j]\) 表示 \(a[1]\) 的质因子 \(j\) 的幂次

这样使用的空间最多为 \((N + Q) × log\)

对于一个质数 \(P\) ,它对答案产生贡献的条件是: $A[1] $ ~ \(A[N]\) 的质因子都包含 \(P\)

也就是 \(P\) 作为质因子一共出现了 \(N\) 次,而它的贡献显然是出现过的最小幂次

于是可以对每个质数 \(p\) 开个 \(set\)

当 \(A[i]\) 的质因子包含 \(p\) 时,往 \(set[p]\) 里插入对应的幂次

而当 \(set[p].size() =n\) 时,\(p\) 就会对答案产生 \(p^{set[p].begin() - pre[p]}\) 贡献

其中 \(pre[p]\) 表示上一次 \(p\) 对答案产生的贡献,其初始值为 \(0\)

AC_Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod)
{
ll res = 1;
while(n)
{
if(n & 1) res = res * x % mod;
x = x * x % mod;
n >>= 1;
}
return res;
} int prime[200010] , minprime[200010]; int euler(int n)
{
int c = 0 , i , j; for(i = 2 ; i <= n ; i ++)
{
if(!minprime[i]) prime[++ c] = i , minprime[i] = i; for(j = 1 ; j <= c && i * prime[j] <= n ; j ++)
{
minprime[i * prime[j]] = prime[j]; if(i % prime[j] == 0) break ;
}
}
return c;
} const ll mod = 1e9 + 7; const int N = 3e5 + 10; int n , q , I , X , a[N] , pre[N]; map<int , int>f[N]; multiset<int>se[N]; signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0) , cout.tie(0); int sum = euler(200000); ll gcdd = 1; cin >> n >> q; for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) cin >> a[i]; for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
{
for(int j = 2 ; j * j <= a[i] ; j ++) if(a[i] % j == 0)
{
int c = 0; while(a[i] % j == 0) a[i] /= j , c ++ ; f[i][j] = c; se[j].insert(c);
} if(a[i] > 1) f[i][a[i]] = 1 , se[a[i]].insert(1);
} for(int i = 1 ; i <= sum ; i ++)
{
int p = prime[i]; if(se[p].size() == n)
{
auto j = *se[p].begin(); gcdd = gcdd * pow_mod(1LL * p , 1LL * j , mod) % mod; pre[p] = j;
}
} while(q --)
{
cin >> I >> X; for(int j = 1 ; prime[j] * prime[j] <= X && j <= sum ; j ++) if(X % prime[j] == 0)
{
int c = 0 , p = prime[j]; while(X % p == 0) X /= p , c ++ ; if(f[I].count(p))
{
auto it = se[p].find(f[I][p]); se[p].erase(it);
} f[I][p] += c; se[p].insert(f[I][p]); if(se[p].size() == n)
{
auto it = *se[p].begin(); gcdd = gcdd * pow_mod(p , it - pre[p] , mod) % mod; pre[p] = it;
}
}
if(X > 1)
{
if(f[I].count(X))
{
auto it = se[X].find(f[I][X]); se[X].erase(it);
} f[I][X] += 1; se[X].insert(f[I][X]); if(se[X].size() == n)
{
auto it = *se[X].begin(); gcdd = gcdd * pow_mod(X , it - pre[X] , mod) % mod; pre[X] = it; }
}
cout << gcdd << '\n';
}
return 0;
}

Codeforces1493D GCD of an Array的更多相关文章

  1. upc组队赛17 Greatest Common Divisor【gcd+最小质因数】

    Greatest Common Divisor 题目链接 题目描述 There is an array of length n, containing only positive numbers. N ...

  2. Swift教程之枚举语法

    import Foundation //MARK:-------枚举语法----------- //不像 C 和 Objective-C 一样.Swift 的枚举成员在被创建时不会被赋予一个默认的整数 ...

  3. 2018CCPC桂林站G Greatest Common Divisor

    题目描述 There is an array of length n, containing only positive numbers.Now you can add all numbers by ...

  4. HDU 4947 GCD Array 容斥原理+树状数组

    GCD Array Time Limit: 11000/5500 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total ...

  5. AIM Tech Round (Div. 2) D. Array GCD dp

    D. Array GCD 题目连接: http://codeforces.com/contest/624/problem/D Description You are given array ai of ...

  6. Codeforces 623B Array GCD

    Array GCD 最后的序列里肯定有a[1], a[1]-1, a[1]+1, a[n], a[n]-1, a[n]+1中的一个,枚举质因子, dp去check #include<bits/s ...

  7. 【CodeForces 624D】Array GCD

    题 You are given array ai of length n. You may consecutively apply two operations to this array: remo ...

  8. D. Array GCD

    You are given array ai of length n. You may consecutively apply two operations to this array: remove ...

  9. BZOJ3853 : GCD Array

    1 n d v相当于给$a[x]+=v[\gcd(x,n)=d]$ \[\begin{eqnarray*}&&v[\gcd(x,n)=d]\\&=&v[\gcd(\fr ...

随机推荐

  1. Slim Span POJ 3522 (最小差值生成树)

    题意: 最小生成树找出来最小的边权值总和使得n个顶点都连在一起.那么这找出来的边权值中的最大权值和最小权值之差就是本题的结果 但是题目要求让这个输出的结果最小,也就是差值最小.那么这就不是最小生成树了 ...

  2. log4net GetLogger(source).IsInfoEnabled = false

    GetLogger(source).IsInfoEnabled = false解决办法 在.net core中需要把log4net.config放到 ITCP.Web\ITCP.Web\obj\Rel ...

  3. 缓冲区溢出实验 6 exit(0)

    实验环境.代码.及准备 https://www.cnblogs.com/lqerio/p/12870834.html vul6 Vul6和vul2类似,可以覆盖foo的ebp的一字节.而这里有一个ex ...

  4. codeforces 1C (非原创)

    C. Ancient Berland Circus time limit per test 2 seconds memory limit per test 64 megabytes input sta ...

  5. Splunk监控软件操作

    一.  Splunk公司与产品 美国Splunk公司,成立于2004年,2012年纳斯达克上市,第一家大数据上市公司,荣获众多奖项和殊荣.总部位于美国旧金山,伦敦为国际总部,香港设有亚太支持中心,上海 ...

  6. HLOD System

    1.1 HLOD System简介 首先,HLOD System主要的目标是为了减少Draw Call.然后,进行更多的Batch批处理,从而大大提高渲染性能,减少面数和纹理,这样我们相应地节省了内存 ...

  7. .NET & C# & ASP.NET

    .NET && C# && ASP.NET https://docs.microsoft.com/zh-cn/dotnet/ .NET Documentation We ...

  8. TensorFlow & Machine Learning

    TensorFlow & Machine Learning TensorFlow 实战 传统方式 规则 + 数据集 => 答案 无监督学习 机器学习 神经元网络 答案 + 数据集 =&g ...

  9. VS Code & terminal & Canvas & DOM

    VS Code & terminal & Canvas & DOM https://code.visualstudio.com/docs/editor/integrated-t ...

  10. Flutter-desktop

    flutter-desktop-embedding video windows $ flutter channel master && flutter upgrade 更新你的 flu ...