Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了,洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。

他决定,在脱坑之前,最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战,就一定要打得漂
亮。众所周知,亚瑟王是一个看脸的游戏,技能的发动都是看概率的。作为一个非
洲人,同时作为一个前 OIer,小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已
经多年没写过代码,连 Spaly都敲不对了,因此,希望你能帮帮小 K,让他感受一
下当欧洲人是怎样的体验。 
本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。 
玩家有一套卡牌,共 n张。游戏时,玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序,排列后
将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~  n。本题中,顺序已经确定,即为输入的顺序。
每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi,如果成功发动,则会对
敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能,卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因
素以及小K非洲血统的考虑,pi不会为 0,也不会为 1,即 0 < pi < 1。 
一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中,系统将从第一张卡牌开始,按照顺序依次
考虑每张卡牌。在一轮中,对于依次考虑的每一张卡牌: 
1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能,则 
1.1 如果这张卡牌不是最后一张,则跳过之(考虑下一张卡牌); 
否则(是最后一张),结束这一轮游戏。 
2否则(这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能),设这张卡牌为第 i 张 
2.1将其以 pi的概率发动技能。 
2.2如果技能发动,则对敌方造成 di点伤害,并结束这一轮。 
2.3如果这张卡牌已经是最后一张(即 i 等于n),则结束这一轮;否则,
考虑下一张卡牌。 
请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。 

Input

输入文件的第一行包含一个整数 T,代表测试数据组数。

接下来一共 T 组数据。 
每组数据的第一行包含两个用空格分开的整数 n和r,分别代表卡牌的张数和
游戏的轮数。 
接下来 n行,每行包含一个实数和一个整数,由空格隔开,描述一张卡牌。第
i 行的两个数为 pi和 di,分别代表第 i 张卡牌技能发动的概率(实数)和技能发动
造成的伤害(整数)。保证 pi最多包含 4位小数,且为一个合法的概率。 

Output

对于每组数据,输出一行,包含一个实数,为这套卡牌在这一局游戏中造成的

伤害的期望值。对于每一行输出,只有当你的输出和标准答案的相对误差不超过
10^-8时——即|a-o|/a<=10-8时(其中a是标准答案,o是输出),你的输出才会被判为正确。
建议输出10 位小数。 

Sample Input

1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1

Sample Output

3.2660250000

HINT

一共有 13 种可能的情况:

1.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 
概率为 0.15,伤害为5。 
2.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 
概率为 0.315,伤害为3。 
3.  第一轮中,第 1张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 
概率为 0.035,伤害为2。 
4.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 
概率为 0.075,伤害为5。 
5.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 
概率为 0.0675,伤害为4。 
6.  第一轮中,第 2张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 
概率为 0.0075,伤害为3。 
7.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 
概率为 0.1575,伤害为3。 
8.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 
概率为 0.04725,伤害为4。 
9.  第一轮中,第 3张卡牌发动技能;第二轮不发动技能; 
概率为 0.11025,伤害为1。 
10.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 1张卡牌发动技能; 
概率为 0.0175,伤害为2。 
11.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 2张卡牌发动技能; 
概率为 0.00525,伤害为3。 
12.  第一轮不发动技能;第二轮中,第 3张卡牌发动技能; 
概率为 0.011025,伤害为1。 
13.  第一轮不发动技能;第二轮亦不发动技能; 
概率为 0.001225,伤害为0。 
造成伤害的期望值为概率与对应伤害乘积之和,为 3.266025。 
 
对于所有测试数据, 1 <= T <= 444, 1 <= n <= 220, 0 <= r <= 132, 0 < pi < 1, 0 <= di <= 1000。  
除非备注中有特殊说明,数据中 pi与di均为随机生成。 
请注意可能存在的实数精度问题,并采取适当措施。 

  题目大意 有n张卡牌,进行r轮游戏,每一轮,从第1张卡牌开始考虑,第i张牌如果没有发动过,则有p[i]的概率对分数有d[i]的贡献,发动后立刻结束这轮游戏。问期望的分数。

  有注意到每张卡牌发动的概率之和它之前的牌有关。

  考虑用f[i][j]表示当第i张牌得到j次发动机会的概率。

  根据dp的某些神奇的性质,只需要考虑第i张卡牌和第(i - 1)张卡牌就可以了(因为这样做的话,f[i - 1]包含了第(i - 2)张卡牌的相关信息,大概感觉有点像递归定义。。)

  1.第(i - 1)张卡牌在j次机会中1次都没有发动

    显然它的概率为

  2.第(i - 1)张卡牌在(j + 1)次机会中发动了1次

    可以求对立事件的概率,然后拿1去减它,于是得到了它的概率为

    不能理解?那我们换个方法,考虑在第i次机会发动,然后求和:

    然后用等比数列求和公式:

    化简得到:

  于是转移转移就好了。

Code

 /**
* bzoj
* Problem#4008
* Accepted
* Time: 848ms
* Memory: 1764k
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N = , R = ; int T;
int n, r;
int W[N];
double P[N];
double prP[N][R];
double f[N][R]; inline void prepare() {
for(int i = ; i < N; i++)
prP[i][] = ;
for(int i = ; i < R; i++)
prP[][i] = ;
} inline void init() {
scanf("%d%d", &n, &r);
for(int i = ; i <= n; i++)
scanf("%lf%d", P + i, W + i);
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= r; j++)
prP[i][j] = prP[i][j - ] * ( - P[i]);//, cerr << prP[i][j] << endl;
} inline void solve() {
memset(f, , sizeof(f));
f[][r] = ;
double ans = 0.0;
for(int i = ; i <= n; i++)
for(int j = ; j <= r; j++) {
f[i][j] = f[i - ][j] * prP[i - ][j] + f[i - ][j + ] * ( - prP[i - ][j + ]);
ans += f[i][j] * ( - prP[i][j]) * W[i];
}
printf("%.10lf\n", ans);
} int main() {
prepare();
scanf("%d", &T);
while(T--) {
init();
solve();
}
return ;
}

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