KMP算法解释

给定两个字符串A,B，判断T是否为S的子串（变式：寻找子串B在串A中的位置）。

要求一个O(|A|+|B|)的做法。

通常称A为目标串（或主串），B为模式串。

算法过程：

我们假设串A的长度为n，串B的长度为m，每个字符串的开头下标默认为1。

定义两个变量i和j，这两个变量共同表示：A[i-j+1~i]与B[1~j]均匹配，即：A中以第i个字符结尾的、长度为j的字符串，和B从头开始长度为j的字符串完全匹配。

继续往下匹配：如果i+1和j+1不匹配。

现在，就是用到了KMP算法的核心：它对这一情况的处理方式是减少j，就相当于将子串向右平移。

平移的目的是为了让“A[i-j+1~i]与B[1~j]均匹配”这个条件重新满足。

在上图中，j一直减小到了0，因为向右平移的过程中，始终不能让这个条件满足（最右边"?"部分已经越界）

但有时候，将j减少一点点之后，是可以重新满足条件的，例如：

那么我们将j从7减小到4时，有：

这样就可以完全匹配啦！但是后面还有没有匹配的机会我们就不管了，至少我们已经保证A[4~7]和B[1~4]完全匹配上了。

现在考虑一个问题：我们每次把j减小1（一位一位地平移B字符串），这样太慢了，我们在这里预处理一个next[]数组，表示当j匹配不下去的时候，我们可以把j减少到next[j]，继续尝试匹配。

预处理过程：让j自己和自己匹配一下，一旦匹配发现B[k-m+1~k] 和 B[1~m] 匹配，则说明在A与B匹配过程中，j等于k匹配不下去时，j可以尝试减小到m。

过程如下：

/**************************************///靓丽的分界线

一些代码：

/*核心内容*/

for (int i = , j = ; i <= n; i++)
{
    while (j&&B[j + ] != A[i]) j = next[j];
    if (B[j + ] == A[i]) j++;
    if (j == m)
    {
        printf("%d\n", i - j + );//输出找到的"B字串在 A中位置"
                                  //如果要求的是出现次数，这里也有可能是ans++什么的
        j = next[j];//让循环进行下去
    }
}

for (int i = , j = ; i <= m; i++)/*预处理next[]数组*/
{//j在每次循环开始都表示next[i]的值，同时也表示需要比较的下一个位置

    while (j&&B[j + ] != B[i]) j = next[j];

    if (B[j + ] == B[i]) j++;

    next[i] = j;

}

经典例题：Blue jeans（POJ 3080）

给定m个串，求字典序最小的公共子串。找一个串，使得这个串是所有串的子串，并且字典序最小。

m≤10，每个串的长度≤60.

解题思路：一个串，如果是所有串的子串，那么肯定是第一个串的子串。

枚举所有子串，复杂度为60*60。

验证其它串是否包含这个子串，复杂度为10*60。

每次更新答案即可。

时间复杂度为：O(60³×10)

经典例题：Seek the Name,Seek the Fame（POJ 2752）

给定一个字符串S，求所有既是S的前缀又是S的后缀的子串，从小到大输出这些串的长度。

|S|<=500000。

N为字符串S的长度。

解题思路：

回到KMP算法，我们令P[j]表示找最大的数x，使得B中位置是1~x的字符与j-x+1~j的字符完全相同，也就是上面讲的KMP算法中的next[]。

考虑P[|S|]的意义，也就是最大的前缀等于后缀的长度（不包括其本身）。

那P[P[|S|]]就是次大的。

因此所有P[P[…P[|S|]]]就是答案了，一直这样递归下去就可以找到答案。

或者用Hash来做，这样更容易想到也比较方便，但效率没有KMP高。