【[CQOI2018]交错序列】
这个题简直有毒,\(O((a+b)^3logn)\)的做法不卡常只比\(O(2^n*n)\)多\(10\)分
看到\(a\)和\(b\)简直小的可怜,于是可以往矩阵上联想
发现这个柿子有些特殊,好像可以二项式定理搞一搞
于是\(x^ay^b\)可以写成\((n-y)^ay^b\)
于是接下来就二项式定理好了
\]
\]
发现好像可以用矩阵来维护这个\(\sum\)的每一项
先列一下\(dp\)的方程,设\(dp[i][j][0/1]\)表示进行到第\(i\)位上,这个\(\sum\)的第\(j\)次方项,最后一位填的是\(0/1\)
如果这一位填\(0\),对答案并没有什么贡献,但是前面填\(0/1\)都是可以的,于是\(dp[i][j][0]=dp[i-1][j][0]+dp[i-1][j][1]\)
如果这一位填的是\(1\),那么前面的那一位只能填\(0\),\(y\)增加了\(1\),所以答案变成了\((y+1)^j\)
还是用二项式定理
\]
所以也就可以得到
\]
矩阵维护就可以了
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define re register
#define maxn 185
#define LL long long
LL a[maxn][maxn],ans[maxn][maxn];
int sz;
int T,A,b,P;
LL c[maxn][maxn];
inline void did_a()
{
LL mid[maxn][maxn];
for(re int i=1;i<=sz;i++)
for(re int j=1;j<=sz;j++)
mid[i][j]=a[i][j],a[i][j]=0;
for(re int i=1;i<=sz;i++)
for(re int k=1;k<=sz;k++)
for(re int j=1;j<=sz;j++)
{
a[i][j]+=mid[i][k]*mid[k][j];
if(a[i][j]>P) a[i][j]%=P;
}
}
inline void did_ans()
{
LL mid[maxn][maxn];
for(re int i=1;i<=sz;i++)
for(re int j=1;j<=sz;j++)
mid[i][j]=ans[i][j],ans[i][j]=0;
for(re int i=1;i<=sz;i++)
for(re int k=1;k<=sz;k++)
for(re int j=1;j<=sz;j++)
{
ans[i][j]+=mid[i][k]*a[k][j];
if(ans[i][j]>P) ans[i][j]%=P;
}
}
inline LL quick(LL a,int b)
{
LL S=1;
while(b)
{
if(b&1) S=S*a%P;
b>>=1;
a=a*a%P;
}
return S;
}
inline void Mat_quick(int b)
{
while(b)
{
if(b&1) did_ans();
b>>=1;
did_a();
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&T,&A,&b,&P);
c[0][0]=1;
for(re int i=1;i<=A+b;i++) c[i][0]=c[i][i]=1;
for(re int i=1;i<=A+b;i++)
for(re int j=1;j<i;j++)
c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%P;
sz=(A+b+1)*2;
for(re int i=1;i<=sz;i++)
ans[i][i]=1;
for(re int i=1;i<=(sz>>1);i++)
a[i][i]=a[i+sz/2][i]=1;
for(re int i=1;i<=(sz>>1);i++)
for(re int j=i+sz/2;j<=sz;j++)
a[i][j]=c[j-1-sz/2][i-1];
Mat_quick(T);
LL Ans=0;
for(re int i=0;i<=A;i++)
if(i&1) Ans=(Ans-c[A][i]*quick(T,A-i)%P*(ans[1][i+1+b]+ans[1][i+1+b+sz/2]%P)%P+P)%P;
else Ans=(Ans+c[A][i]*quick(T,A-i)%P*(ans[1][i+1+b]+ans[1][i+1+b+sz/2]%P))%P;
std::cout<<Ans;
return 0;
}
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