[学习笔记]矩阵乘法及其优化dp

1.定义：

$c[i][j]=\sum a[i][k]\times b[k][j]$

所以矩阵乘法有条件，(n*m)*(m*p)=n*p

即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，否则没有意义。

2.结合律与分配率

矩阵乘法不一定任何时候都有交换律。因为交换后甚至不能保证第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

但是，矩阵乘法有结合律。

A*B*C=A*(B*C)

这是一个最常用的运算律，使之可以用矩阵快速幂。

3.构造技巧。

矩阵乘法主要用途还是矩阵加速dp。

例如什么n=1e9之类的。

关键还是在于列出dp或者叫递推式子。

BY LYD：

1.一定是线性递推式（斐波那契数列）

2.总有一个转移矩阵（通常还是正方形）一直不变（才能快速幂）

3.矩阵边长不能太大，因为乘法复杂度是O(n^3)

4.矩阵保留能往下递推的项即可。

4.基础应用：

①斐波那契数列第1e9项。斐波那契数列

②[TJOI2015]棋盘

矩阵乘法除了这样的优化dp/递推之外，还可以就矩阵乘法本身出一些题目。

以及一些以矩阵乘法为基础的构造

5.板板题——预处理+矩阵+定义新运算