51nod1222 最小公倍数计数 莫比乌斯反演 数学
求$\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} [lcm(i, j) \le n]$
因为这样不好求,我们改成求$\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} [lcm(i, j) \le n]$.
这样求出来的值把除了(i, i)这样的点对以外所有点对都重复统计了一次。因此$ans = \frac{rnt + n}{2}$(先加上没有重复统计的点对个数,使得所有点对都重复统计了一次,然后再除2就是不重复统计的点对个数)
接下来就是化式子了...
$$\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} [lcm(i, j) \le n]$$
$$\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} [\frac{ij}{(i, j)} \le n]$$
枚举$(i, j) = d$
$$\sum_{d = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} [\frac{ij}{(i, j)} \le n] [(i, j) == d]$$
枚举$i = \frac{i}{d}$
$$\sum_{d = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{d} }\rfloor} \sum_{j = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{d} }\rfloor} [ijd \le n][(i, j) == 1]$$
上反演
$$\sum_{d = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{d} }\rfloor} \sum_{j = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{d} }\rfloor}[ijd \le n] \sum_{k | (i, j)} \mu(k)$$
$$\sum_{d = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{d} }\rfloor} \sum_{j = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{d} }\rfloor} \sum_{k | (i, j)} \mu(k)[ijd \le n]$$
把$k$提到前面来,然后枚举$k$的倍数
$$\sum_{d = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{d} }\rfloor} \mu(k) \sum_{i = 1 }^{\lfloor{ \frac{n}{dk} }\rfloor} \sum_{j = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{dk} }\rfloor}[i j k^2 d \le n]$$
可以发现,原式中对$d,k$的限制实际上是$dk \le n$,因此我们再次将$k$向前提,那么此时$k$已经是第一个枚举的了,因此我们对中括号内的式子进行移项得到:
$$\sum_{k = 1}^{n} \mu(k) \sum_{d = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{k} }\rfloor} \sum_{i = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{dk} }\rfloor} \sum_{j = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{dk} }\rfloor}[ijd \le \frac{n}{k^2}]$$
那么为了保证$[ijd \le \frac{n}{k^2}]$,对现在枚举的变量有如下限制:
$k \le \sqrt{n}, d \le \lfloor{ \frac{n}{k^2} }\rfloor, x \le \lfloor{ \frac{n}{k^2d} }\rfloor, y \le \lfloor{ \frac{n}{k^2dx} }\rfloor$
因此原式变为:
$$\sum_{k = 1}^{\sqrt{n}} \mu(k) \sum_{d = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{k^2} }\rfloor} \sum_{i = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{k^2d} }\rfloor} \sum_{j = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{k^2dx} }\rfloor} 1$$
设$H(n) = \sum_{a = 1}^{n} \sum_{b = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{a} }\rfloor} \sum_{c = 1}^{\lfloor{ \frac{n}{ab} }\rfloor} 1$,则原式为:
$$\sum_{k = 1}^{\sqrt{n}} \mu(k) H(\lfloor{ \frac{n}{k^2} }\rfloor)$$
因此我们的目的就是快速求出$H(n)$。
$H(n)$可以看做是求满足如下关系的三元组的个数$abc \le n$.
因此我们不妨假设$a < b < c$,那么有$a \le n ^ {\frac{1}{3}}, b \le \sqrt{\lfloor{ \frac{n}{a} }\rfloor}$(因为除去$a$后剩余数为$\lfloor{ \frac{n}{a} }\rfloor$,而$b$最大也要满足$b \le c$,因此$b$最大也就是开根)
那么此时$c$的范围就为$[b + 1, \lfloor \frac{n}{ab} \rfloor]$,因此$c$的个数可以$O(1)$算出
因为我们假定了$a < b < c$,而原式中没有这样的限制,所以这样会少算,比如$123$会被计算一次,但实际上应该被计算$123, 132, 213, 231, 321, 312$共$6$次。其他情况也是类似的。
因此我们枚举$a, b, c$,分别求3个均不相同,前2个相同,后2个相同,3个都相同的方案数,
然后对于这些方案数,分别乘上对应系数$6, 3, 3, 1$.最后加起来就等于$H(n)$.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define AC 401000
#define LL long long
#define R register int
#define RL register LL LL l, r, tot, maxn;
LL pri[AC], mu[AC];
bool z[AC]; void pre()
{
scanf("%lld%lld", &l, &r), maxn = sqrt(r);
mu[] = ;
for(R i = ; i <= maxn; i ++)
{
if(!z[i]) pri[++ tot] = i, mu[i] = -;
for(R j = ; j <= tot; j ++)
{
int now = pri[j];
if(i * now > maxn) break;
z[i * now] = true;
if(!(i % now)) break;
mu[i * now] = - mu[i];
}
}
} LL get(LL n)
{
LL A = , B = , C = , D = ;
for(RL i = ; i * i * i <= n; i ++)//枚举3个不相同的
{
LL m2 = sqrt(n / i), to = n / i;//因为k要从j + 1 枚举到 n / i / j,所以相减就是个数
for(RL j = i + ; j <= m2; j ++) A += (LL)(to / j - j);//除法如此之慢。。。。
}
for(RL i = ; i * i * i <= n; i ++) B += (LL)(n / i / i - i);//加上只有前2个相同的
for(RL i = ; i * i * i <= n; i ++) C += ((LL)sqrt(n / i) - i);//枚举后2个相同的,因为后2个相同,所以只需要知道j的个数即可
for(RL i = ; i * i * i <= n; i ++) ++ D;//因为诡异精度误差,,,,就算是加减,也要先转成LL....
// D += m1;//因为前面是double类型,所以一遇到乘法,就可能造成进位。。。
return A * + B * + C * + D;
} LL cal(LL n)
{
int block = sqrt(n); LL rnt = ;
for(R i = ; i <= block; i ++) rnt += mu[i] * get(n / i / i);
return (rnt + n) / ;
} int main()
{
freopen("in.in", "r", stdin);
pre();
printf("%lld\n", cal(r) - cal(l - ));
fclose(stdin);
return ;
}
51nod1222 最小公倍数计数 莫比乌斯反演 数学的更多相关文章
- 【51nod】1222 最小公倍数计数 莫比乌斯反演+组合计数
[题意]给定a和b,求满足a<=lcm(x,y)<=b && x<y的数对(x,y)个数.a,b<=10^11. [算法]莫比乌斯反演+组合计数 [题解]★具体 ...
- 51NOD 1222 最小公倍数计数 [莫比乌斯反演 杜教筛]
1222 最小公倍数计数 题意:求有多少数对\((a,b):a<b\)满足\(lcm(a,b) \in [1, n]\) \(n \le 10^{11}\) 卡内存! 枚举\(gcd, \fra ...
- 51nod1222 最小公倍数计数
题目来源: Project Euler 基准时间限制:6 秒 空间限制:131072 KB 分值: 640 定义F(n)表示最小公倍数为n的二元组的数量. 即:如果存在两个数(二元组)X,Y(X & ...
- UOJ #54 时空穿梭 —— 计数+莫比乌斯反演+多项式系数
题目:http://uoj.ac/problem/54 10分还要用 Lucas 定理囧...因为模数太小了不能直接算... #include<cstdio> #include<cs ...
- luogu 4844 LJJ爱数数 (莫比乌斯反演+数学推导)
题目大意:求满足gcd(a,b,c)==1,1/a+1/b=1/c,a,b,c<=n的{a,b,c}有序三元组个数 因为题目里有LJJ我才做的这道题 出题人官方题解https://www.cnb ...
- [51nod1222] 最小公倍数计数(莫比乌斯反演)
题面 传送门 题解 我此生可能注定要和反演过不去了--死都看不出来为啥它会突然繁衍反演起来啊-- 设\(f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[{ij\over\gcd(i,j)} ...
- 51Nod1222 最小公倍数计数 数论 Min_25 筛
原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1222.html 题意 给定 $a,b$, 求 $$\sum_{n=a}^b \sum_{i=1}^n ...
- 51nod1222最小公倍数计数
51nod1222 http://210.33.19.103/contest/1113/problem/2 同学的神仙做法: 首先考虑先去掉X<=Y的限制,也就是先计算满足要求的任意有序pair ...
- BZOJ 3518 点组计数 ——莫比乌斯反演
要求$ans=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n-i)(m-j)(gcd(i,j)-1)$ 可以看做枚举矩阵的大小,然后左下右上必须取的方案数. 这是斜率单增的情况 然后大力反演 ...
随机推荐
- HBase 第四章 HBase原理
1 体系图 HBase中的每张表都通过行键按照一定的范围被分割成多个子表(HRegion),默认一个HRegion超过256M就要被分割成两个,这个过程由HRegionServer管理,而HRegi ...
- linux 冒号用法
冒号在Linux中是一个空命令,可以认为与shell的内建命令true相同,它的返回值是0. 在while循环中 while : 与 while true 的作用是等效的 在 if/then 中可作为 ...
- 在 Centos7 用Jexus服务器 运行.Net Core 只需几部
1.安装 .Net SDK 不需要按照 .net core runtime,sdk 依赖于运行时会自动安装 第一步 添加dotnet源 sudo rpm -Uvh https://packages.m ...
- 查询系统日期和时间(mysql)
select current_date --不带时间select sysdate() 或 SELECT NOW(); --带时间
- Maven学习(七)-----Maven添加远程仓库
Maven添加远程仓库 默认情况下,Maven从Maven中央仓库下载所有依赖关系.但是,有些库丢失在中央存储库,只有在Java.net或JBoss的储存库远程仓库中能找到. 1. Java.net资 ...
- MySQL数据库之数据类型和完整性约束
补充: select * from mysql.user #显示出来乱了 select * from mysql.user\G #加了\G后一行一行显示了 一.数据类型:分不同种类去存不同类型的数据 ...
- stl源码分析之allocator
allocator封装了stl标准程序库的内存管理系统,标准库的string,容器,算法和部分iostream都是通过allocator分配和释放内存的.标准库的组件有一个参数指定使用的allocat ...
- Redis主从复制(Master/Slave) 与哨兵模式
Redis主从复制是什么? 行话:也就是我们所说的主从复制,主机数据更新后根据配置和策略, 自动同步到备机的master/slaver机制,Master以写为主,Slave以读为主 Redis主从复制 ...
- oracle的分号和斜杠/
;是执行语句必须的/是执行语句块必须的 比如执行一个触发器 CREATE OR REPLACE TRIGGER "TRG_1" BEFORE INSERT ON "CAT ...
- Openwrt能用的花生壳客户端
http://files.cnblogs.com/mazhiyong/phddns.zip 使用教程可参考官方文档 http://service.oray.com/question/116.html