bzoj1402:[HAOI2008]硬币购物
思路:完全背包加容斥原理
首先不考虑限制,那么很容易可以预处理出f[i](f[i]+=f[i-c[i]],1<=i<=4,i-c[i]>=0)。
然后考虑如何求出限制后的答案。
首先考虑这样的一个问题:x1+x2+x3+x4+x5+...+xn=m有多少组整数解。显然插板法可以解决这个问题,但如果引入对于xi的限制,令xi不能超过ri,那么这个问题就应该要用到容斥原理了。
令Si为所有满足条件的xi的集合,那么这个问题就转化为了求所有Si的交集后再用插板法的一个问题了,瓶颈就在于如何求出Si的交集,于是可以考虑容斥原理,Si的交集即全集U-所有Si补集的并集,而Si的补集也就是满足xi>ri即xi>=ri+1的xi的集合,这样令所有的xi-=(ri+1),也就是令m+=(ri+1),然后即可用容斥原理加插板法求出所有Si补集的并集,全集U即原始问题的答案,那么这样运用容斥就完美地解决了这样一个问题。
再回到我们的问题,可以发现这就是刚刚提到的问题的每一个xi乘上一个权值,那么就令m+=(ri+1)*ci即可,于是对于所有询问均可做到O(1)回答。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 101000 int c[],d[],num[],cases;
long long f[maxn]; int main(){
for (int i=;i<=;i++) scanf("%d",&c[i]);scanf("%d",&cases);
f[]=;
for (int i=;i<=;i++)
for (int j=c[i];j<=;j++)
f[j]+=f[j-c[i]];
num[]=;
for (int i=;i<(<<);i++) num[i]=num[i>>]*((i&)?-:);
while (cases--){
int sum;for (int i=;i<=;i++) scanf("%d",&d[i]);scanf("%d",&sum);long long ans=f[sum];
for (int i=;i<(<<);i++){
int tmp=;
for (int j=;j<;j++)
if ((<<j)&i) tmp+=(d[j+]+)*c[j+];
if (sum>=tmp) ans+=f[sum-tmp]*num[i];
}
printf("%lld\n",ans);
}
return ;
}
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