概率分布有两种类型:离散(discrete)概率分布和连续(continuous)概率分布。

离散概率分布也称为概率质量函数(probability mass function)。离散概率分布的例子有伯努利分布(Bernoulli distribution)、二项分布(binomial distribution)、泊松分布(Poisson distribution)和几何分布(geometric distribution)等。

连续概率分布也称为概率密度函数(probability density function),它们是具有连续取值(例如一条实线上的值)的函数。正态分布(normal distribution)、指数分布(exponential distribution)和β分布(beta distribution)等都属于连续概率分布。

1、两点分布(伯努利分布)

伯努利试验:

伯努利试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

即只先进行一次伯努利试验,该事件发生的概率为p,不发生的概率为1-p。这是一个最简单的分布,任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布。

最常见的例子为抛硬币

其中,

期望E = p

方差D = p*(1-p)^2+(1-p)*(0-p)^2 = p*(1-p)

 2、二项分布(n重伯努利分布)(X~B(n,p))

即做n个两点分布的实验

其中,

E = np

D = np(1-p)

对于二项分布,可以参考https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.binom.html

二项分布的应用场景主要是,对于已知次数n,关心发生k次成功。

,即为二项分布公式可求。

对于抛硬币的问题,做100次实验,观察其概率分布函数:

from scipy.stats import binom
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np ## 设置属性防止中文乱码
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

  首先导入库函数以及设置对中文的支持

fig,ax = plt.subplots(1,1)
n = 100
p = 0.5
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = binom.stats(n,p,moments='mvsk')
print mean,var,skew,kurt
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时,ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.arange(binom.ppf(0.01, n, p),binom.ppf(0.99, n, p))
ax.plot(x, binom.pmf(x, n, p),'o')
plt.title(u'二项分布概率质量函数')
plt.show()

  

观察概率分布图,可以看到,对于n = 100次实验中,有50次成功的概率(正面向上)的概率最大。

3、几何分布(X ~ GE(p))

在n次伯努利实验中,第k次实验才得到第一次成功的概率分布。其中:P(k) = (1-p)^(k-1)*p

E = 1/p  推到方法就是利用利用错位相减法然后求lim - k ->无穷

D = (1-p)/p^2  推到方法利用了D(x) = E(x)^2-E(x^2),其中E(x^2)求解同上

几何分布可以参考:https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.geom.html#scipy.stats.geom

fig,ax = plt.subplots(1,1)
p = 0.5
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = geom.stats(p,moments='mvsk')
print mean,var,skew,kurt
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时,ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.arange(geom.ppf(0.01, p),geom.ppf(0.99, p))
ax.plot(x, geom.pmf(x, p),'o')
plt.title(u'几何分布概率质量函数')
plt.show()

  

因此,可以看到,对于抛硬币问题,抛个两三次就能成功。

4、泊松分布(X~P(λ))

描述单位时间/面积内,随机事件发生的次数。P(x = k) = λ^k/k!*e^(-λ)   k = 0,1,2, ...    λ >0

泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说,若  ,其中n很大,p很小,因而  不太大时,X的分布接近于泊松分布  。

λ:单位时间/面积下,随机事件的平均发生率

E = λ

D = λ

譬如:某一服务设施一定时间内到达的人数、一个月内机器损坏的次数等。

假设某地区,一年中发生枪击案的平均次数为2。

fig,ax = plt.subplots(1,1)
mu = 2
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = poisson.stats(mu,moments='mvsk')
print mean,var,skew,kurt
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时,ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.arange(poisson.ppf(0.01, mu),poisson.ppf(0.99, mu))
ax.plot(x, poisson.pmf(x, mu),'o')
plt.title(u'poisson分布概率质量函数')
plt.show()

  

因此,一年内的枪击案发生次数的分布如上所示。

与二项分布对比:

fig,ax = plt.subplots(1,1)

n = 1000
p = 0.1
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = binom.stats(n,p,moments='mvsk')
print mean,var,skew,kurt
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时,ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.arange(binom.ppf(0.01, n, p),binom.ppf(0.99, n, p))
p1, = ax.plot(x, binom.pmf(x, n, p),'b*',label = 'binom') mu = n*p
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = poisson.stats(mu,moments='mvsk')
print mean,var,skew,kurt
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时,ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.arange(poisson.ppf(0.01, mu),poisson.ppf(0.99, mu))
p2, = ax.plot(x, poisson.pmf(x, mu),'ro',label = 'poisson') plt.legend(handles = [p1, p2])
plt.title(u'对比')
plt.show()

  

 5、均匀分布(X~U(a,b))

对于随机变量x的概率密度函数:

则称随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布。

E = 0.5(a+b)

D = (b-a)^2 / 12

均匀分布在自然情况下极为罕见,而人工栽培的有一定株行距的植物群落即是均匀分布。这表明X落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关,而与子区间位置无关,因此X落在[a,b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的,所谓的均匀指的就是这种等可能性。

落在某一点的概率都是相同的

若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间,则

P{x1≤x≤x2}=(x2-x1)/(b-a)

这表明X落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关,而与子区间位置无关。

fig,ax = plt.subplots(1,1)

loc = 1
scale = 1 #平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = uniform.stats(loc,scale,moments='mvsk')
print mean,var,skew,kurt
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时,ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.linspace(uniform.ppf(0.01,loc,scale),uniform.ppf(0.99,loc,scale),100)
ax.plot(x, uniform.pdf(x,loc,scale),'b-',label = 'uniform') plt.title(u'均匀分布概率密度函数')
plt.show()

 6、指数分布X~ E(λ)

E = 1/λ

D = 1/λ^2

fig,ax = plt.subplots(1,1)

lambdaUse = 2
loc = 0
scale = 1.0/lambdaUse #平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = expon.stats(loc,scale,moments='mvsk')
print mean,var,skew,kurt
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时,ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.linspace(expon.ppf(0.01,loc,scale),expon.ppf(0.99,loc,scale),100)
ax.plot(x, expon.pdf(x,loc,scale),'b-',label = 'expon') plt.title(u'指数分布概率密度函数')
plt.show()

  

指数分布通常用来表示随机事件发生的时间间隔,其中lambda和poisson分布的是一个概念(我认为),不知道为什么知乎上:https://www.zhihu.com/question/24796044,他们为啥说这俩不一样呢?我觉得这两种分布的期望肯定不一样啊,一个描述发生次数,一个描述两次的时间间隔,互为倒数也是应该的啊。

指数分布常用来表示旅客进机场的时间间隔、电子产品的寿命分布(需要高稳定的产品,现实中要考虑老化的问题)

指数分布的特性:无记忆性

比如灯泡的使用寿命服从指数分布,无论他已经使用多长一段时间,假设为s,只要还没有损坏,它能再使用一段时间t 的概率与一件新产品使用时间t 的概率一样。

这个证明过程简单表示:

P(s+t| s) = P(s+t , s)/P(s) = F(s+t)/F(s)=P(t)

7、正态分布(X~N(μ,σ^2))

E = μ

D = σ^2

正态分布是比较常见的,譬如学生考试成绩的人数分布等

fig,ax = plt.subplots(1,1)

loc = 1
scale = 2.0
#平均值, 方差, 偏度, 峰度
mean,var,skew,kurt = norm.stats(loc,scale,moments='mvsk')
print mean,var,skew,kurt
#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时,ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。
x = np.linspace(norm.ppf(0.01,loc,scale),norm.ppf(0.99,loc,scale),100)
ax.plot(x, norm.pdf(x,loc,scale),'b-',label = 'norm') plt.title(u'正太分布概率密度函数')
plt.show()

  

补充:

大数定理:

随着样本的增加,样本的平均数将接近于总体的平均数,故推断中,一般会使用样本平均数估计总体平均数。

大数定律讲的是样本均值收敛到总体均值

中心极限定理:

独立同分布的事件,具有相同的期望和方差,则事件服从中心极限定理。他表示了对于抽取样本,n足够大的时候,样本分布符合x~N(μ,σ^2)

中心极限定理告诉我们,当样本量足够大时,样本均值的分布慢慢变成正态分布

概率论中常见分布总结以及python的scipy库使用:两点分布、二项分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的更多相关文章

  1. Windows下使用命令安装Python的scipy库出错的解决

    平时使用Python都是在Sublime下使用,不想使用IDE.使用各种库时安装也就是使用pip安装即可.来说说今天自己遇到的一个问题:使用scipy数学库时,使用命令: pip install sc ...

  2. python采用pika库使用rabbitmq总结,多篇笔记和示例

    这一段时间学习了下rabbitmq,在学习的过程中,发现国内关于python采用pika库使用rabbitmq的资料很少,官网有这方面的资料,不过是都英文的.于是笔者结合自己的理解,就这方面内容写了一 ...

  3. python采用pika库使用rabbitmq总结,多篇笔记和示例(转)

    add by zhj:作者的几篇文章参考了Rabbitmq的Tutorials中的几篇文章. 原文:http://www.01happy.com/python-pika-rabbitmq-summar ...

  4. Python数模笔记-Scipy库(1)线性规划问题

    1.最优化问题建模 最优化问题的三要素是决策变量.目标函数和约束条件. (1)分析影响结果的因素是什么,确定决策变量 (2)决策变量与优化目标的关系是什么,确定目标函数 (3)决策变量所受的限制条件是 ...

  5. Python中常见字符串去除空格的方法总结

    Python中常见字符串去除空格的方法总结 1:strip()方法,去除字符串开头或者结尾的空格>>> a = " a b c ">>> a.s ...

  6. python编程中常见错误

    python编程培训中常见错误最后,我想谈谈使用更多python函数(数据类型.函数.模块.类等)时可能遇到的问题.由于篇幅有限,我们试图将其简化,特别是一些高级概念.有关更多详细信息,请阅读学习py ...

  7. Python中常见的异常总结

    Python中常见的异常总结 当Python检测到一个错误时,解释器就会指出当前流已经无法继续执行下去,这时候就出现了异常. 一.异常错误    a.语法错误     错误一:     if     ...

  8. python中常见的错误

    python中常见的错误   1.IndentationError: unindent does not match any outer indentation leve 众所周知,Python语法要 ...

  9. python中常见的报错信息

    python中常见的报错信息 在运行程序时常会遇到报错提示,报错的信息会提示是哪个方向错的,从而帮助你定位问题: 搜集了一些python最重要的内建异常类名: AttributeError:属性错误, ...

随机推荐

  1. 2017ACM暑期多校联合训练 - Team 9 1005 HDU 6165 FFF at Valentine (dfs)

    题目链接 Problem Description At Valentine's eve, Shylock and Lucar were enjoying their time as any other ...

  2. 30、hashCode方法

    HashCode方法的作用 在HashSet中的元素是不能重复的,jvm可以通过equals方法来判断两个对象是否相同,假设自定义一个Person类里面有10个成员变量,每调用一次equals方法需要 ...

  3. Unity3D 程序打包报错(程序是连接数据库进行处理的)

    打包这个Unity3D的程序时出现错误(程序是由XML数据改成连接数据库): ArgumentException: The Assembly System.Configuration is refer ...

  4. Django 安装 —Django学习 (一)

    Django Django 是一个python 框架, 采用MTV的模式,模型,模板,视图 注意事项 Django 版本和 python 的版本是一一对应的,安装时一定要注意相应的版本信息. 如下图: ...

  5. 大数据系列之数据仓库Hive中分区Partition如何使用

    Hive系列博文,持续更新~~~ 大数据系列之数据仓库Hive原理 大数据系列之数据仓库Hive安装 大数据系列之数据仓库Hive中分区Partition如何使用 大数据系列之数据仓库Hive命令使用 ...

  6. 【Andorid开发框架学习】之Volley入门

    Volley是Android平台上的网络通信库,能使网络通信更快,更简单,更健壮.Volley特别适合数据量不大但是通信频繁的场景.在listView显示图片这方面,使用volley也是比较好的,不必 ...

  7. 【小程序开发总结】微信小程序开发常用技术方法总结

    1.获取input的值 <input bindinput="bindKeyInput" placeholder="输入同步到view中"/>   b ...

  8. python基础--shutil模块

    shutil模块提供了大量的文件的高级操作. 特别针对文件拷贝和删除,主要功能为目录和文件操作以及压缩操作.对单个文件的操作也可参见os模块. 注意 即便是更高级别的文件复制函数(shutil.cop ...

  9. linux 系统网卡无法识别,缺少驱动

    #linux网卡驱动安装# Linux设备加载 #lsmod Module Size Used by e1000e 查看硬件设备 ls /usr/share/hwdata 查看pci网卡设备 lspc ...

  10. Python获取指定文件夹下的文件名

    本文采用os.walk()和os.listdir()两种方法,获取指定文件夹下的文件名. 一.os.walk() 模块os中的walk()函数可以遍历文件夹下所有的文件. os.walk(top, t ...