剑指offer-第二章算法之斐波拉契数列(青蛙跳台阶)
递归与循环
递归:在一个函数的内部调用这个函数。
本质:把一个问题分解为两个,或者多个小问题(多个小问题相互重叠的部分,会存在重复的计算)
优点:简洁,易于实现。
缺点:时间和空间消耗严重,如果递归调用的层级太多,就会超出栈容量。
循环:通过设置计算的初始值及终止条件,在一个范围内重复运算。
斐波拉契数列
题目一:写一个函数,输入n,求斐波拉契(Fibonacci)数列的第n项,定义如下:
第一种解法:用递归的算法:
long long Fabonacci(unsigned int n)
{
if(n<=0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
return Fabonacci(n-1)+Fabonacci(n-2);
}
当n=10的时候的调用图如下:
从上图我们可以看到递归的时候,有很多数都被重复计算了,对性能带来极其负面的影响,改算法的时间复杂度为n的指数次方。
第二种解法:用循环(时间复杂度为O(n))
#include <iostream>
using namespace std;
long long Fabonacci(unsigned int n)
{
int arrary[]={,};
long long FabN; if(n<)
FabN=arrary[n];
long long FabOne=;
long long FabTwo=;
for(unsigned int i=;i<=n;++i)
{
FabN=FabOne+FabTwo;
FabTwo=FabOne;
FabOne=FabN;
}
return FabN;
}
void main()
{
long long n=Fabonacci();
cout<<n<<endl; }
java代码:
public class Fabonacci {
//斐波拉契数列的非递归的实现,用循环。时间复杂度为O(n)
public int fabonacci(int n){
int[] a={0,1};
if(n<2)
return a[n];
int FabOne=0;
int FabTwo=1;
int FabN=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
FabN=FabOne+FabTwo;
FabOne=FabTwo;
FabTwo=FabN;
}
return FabN;
}
//斐波拉契数列的递归写法
public long fabonacci1(long n){
long fabN=0;
if(n<=0)
fabN=0;
else if(n==1)
fabN=1;
else
fabN=fabonacci1(n-1)+fabonacci1(n-2);
return fabN;
}
public static void main(String[] args){
Fabonacci fab=new Fabonacci();
int f=fab.fabonacci(5);
long f1=fab.fabonacci1(5);
System.out.println(f+" "+f1);
}
}
题目二:一只青蛙一次可以跳上一级台阶,也可以跳上2级台阶,求该青蛙跳上n级台阶的共有多少种跳法。
思路:当只有一级台阶的时候,青蛙的跳法也只有一种。当有两级台阶的时候,青蛙的跳法有两种(一是:一下跳两级台阶,二是:一级一级的跳)。当有n级台阶的时候,青蛙在第一次起跳的时候只跳了一级台阶,则还剩下n-1级台阶的跳法,如果在第一次起跳的时候跳了两级台阶,则还剩下n-2级台阶的跳法。整个题目正好是一个斐波拉契数列。公式如下:
题目三:矩阵的覆盖,用八个2*1的小矩阵去覆盖一个2*8的大矩阵。如下图所示:
第一个小矩阵可以有两种覆盖方法横着,那么此时,必须由第二个小矩阵也横着,剩下2*6的大矩阵;竖着,那么还剩下2*7的大矩阵需要覆盖。因此可得:f(8)=f(6)+f(7).
公式同上第二题。
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