傅立叶变换(FT, Fourier Transform)的作用是将一个信号由时域变换到频域。其实就是把数据由横坐标时间、纵坐标采样值的波形图格式,转换为横坐标频率、纵坐标振幅(或相位)的频谱格式。变换后可以很明显地看出一些原先不易察觉的特征。
离散傅立叶变换(DFT)的算法属于线性变换。由于对每个采样点,都要做一次全部点的加权求和的运算,因此当采样点比较多时,运算速度会很慢。
快速傅立叶变换(FFT)是DFT的快速算法,运算结果和DFT是相等的。其原理是利用权值的对称性与周期性,把采样点分解成两份,每份的点数是原来的一半,这样运算量也会减半。然后可以继续分解为4份、份、份……以此不断提升效率。

波形的公式:

采样植(y) - 纵坐标轴代表采样点的值
时间(t) - 横坐标轴代表时间,或者代表当前是第几个采样点
振幅(A) - 也叫幅度,代表波的高度(峰值)
圆频率(ω) - ω=2π*f,f代表频率
相位(ω*t) - 是个角度,一般用弧度制表示,弧度制的0~2π,代表0度到360度

采样点数量(N) - 采样的数据是离散的,常常用散点来表示,下图共有20个采样点。

频率(f) - 是单位时间内完成振动的次数,f=波的重复次数/N。

假如一个波的图形为:采样点数量(N)=200,振幅(A)=3,频率为10个波,即3*sin(2π*10/200)。

经过傅立叶变换后,可以看到在大约10的位置有一条竖线,由此很容易看出,频率为10个波。由于变换的结果是个对称图形,因此在右边200-10的对应位置也会出现一条竖线。变换后的数据,除了这两条竖线以外,其它值的都近似为0,是个稀疏矩阵

运算结果是复数,输出值取复数的模(绝对值)。复数的模 = 实部的平方+虚部的平方,再开平方 = sqrt(real^2+imagine^2)

如果只为提取特征的话,使用上面的输出值就可以了。如果想得到标准的振幅和频率值,那么:
振幅 = 输出值/(N/2) = 300/(200/2) = 3
频率 = 波的重复次数/N = 10/200 = 0.05

Matlab:

N = 200; % 采样点数量
A = 3; % 振幅
fv = 10; % 波的重复次数
f = fv / 200; % 频率
t = [1:200]; % 时间

y = A * sin(t*2*pi*f); % 生成波形采样数据
plot(y); % 显示时域图

figure;
Y = fft(y, N); % FFT变换
plot(abs(Y)); % 显示频域图

--------------------------------------------
傅立叶变换入门:http://news.cnblogs.com/n/209014/
FFT是基于复数运算的,而实际采样点的数据一般是实数,因此要转换成复数形式。标准的做法是复数的实数部分为采样点的实数数据,虚数部分全部填0。(但这样做会有一定运算效率的问题,因为填0的部分也参与运算,对此也有一些优化算法。)

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