Description###

小Z所在的城市有N个公交车站,排列在一条长(N-1)km的直线上,从左到右依次编号为1到N,相邻公交车站间的距

离均为1km。 作为公交车线路的规划者,小Z调查了市民的需求,决定按下述规则设计线路:

1.设共K辆公交车,则1到K号站作为始发站,N-K+1到N号台作为终点站。

2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过(始发站和

终点站也算被经过)。

3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。

4.一辆公交车经过的相邻两个

站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前,小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大,你只

需求出答案对30031取模的结果。

Input###

仅一行包含三个正整数N K P,分别表示公交车站数,公交车数,相邻站台的距离限制。

N<=10^9,1<P<=10,K<N,1<K<=P

Output###

仅包含一个整数,表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

Sample Input###

样例一:10 3 3

样例二:5 2 3

样例三:10 2 4

Sample Output###

1

3

81

HINT###

【样例说明】

样例一的可行方案如下: (1,4,7,10),(2,5,8),(3,6,9)

样例二的可行方案如下: (1,3,5),(2,4) (1,3,4),(2,5) (1,4),(2,3,5)

P<=10 , K <=8


想法##

emm这个题还是有难度的。

我想到的第一版dp为

\(f[i][st']+=f[i-1][st]\)

f[i][st]中的st为八进制p位数,表示哪些公交车经过 (i-p+1) 到 i 这连续p个站台

由于公交车相邻两者站台间距离不超过p,所以st中应出现所有公交车。

转移时注意st'与st必须满足st的后p-1位与st'的前p-1位相同。

这样是正确的。但显然时间空间都承受不了。

考虑原先的dp有哪些东西是不必要的。

注意到我们转移的时候,从st到st',并没有用到经过某一站台的公交车编号是多少,只关心st与st'是否合法(即是否出现所有公交车)以及是否可以成功转移。

那么把st变为一个二进制p位数,其中某x位上的1代表有一个公交车在这p个站台中最后经过的站台为x

只要st中有k个1,且最后一位为1便是合法的。

从st到st',只要st的后p-1位与st'的前p-1位至多有一位不同便可以成功转移。

但这样状态为\(2^p\),仍有点多。

不过可以发现满足条件的st必须有k个1且最后一位为1,这样状态数就减为了 \(C_{p-1}^{k-1}\),最多也就二百多。

之后就可以矩阵快速幂了。


代码##

细节还是有的,二进制位运算的地方要注意一些。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring> #define P 30031 using namespace std; const int SZ=260; int tot;
struct matrix{
int a[SZ][SZ];
matrix() { memset(a,0,sizeof(a)); }
void init() { for(int i=0;i<tot;i++) a[i][i]=1; }
matrix operator * (const matrix &b) const{
matrix c;
for(int i=0;i<tot;i++)
for(int j=0;j<tot;j++)
for(int k=0;k<tot;k++)
(c.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j])%=P;
return c;
}
matrix operator *= (const matrix &b) { return *this=*this*b; }
};
matrix Pow_mod(matrix x,int y){
matrix ret; ret.init();
while(y){
if(y&1) ret*=x;
x*=x;
y>>=1;
}
return ret;
} int n,p,k;
int num[1030]; int cal(int x){
int ret=0;
while(x){
ret+=(x&1);
x>>=1;
}
return ret;
}
void getnum(){
for(int i=0;i<(1<<p);i++)
if(cal(i)==k && (i&1)==1) num[tot++]=i;
}
bool check(int x,int y){
if((y&1)==0) return false;
int z=(x%(1<<(p-1)))^(y>>1);
return z==(z&(-z));
} int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
getnum(); matrix a,b;
for(int i=0;i<tot;i++)
for(int j=0;j<tot;j++)
if(check(num[i],num[j]))
a.a[i][j]++;
b.a[0][0]=1;
a=Pow_mod(a,n-k); /**/
b=b*a; printf("%d\n",b.a[0][0]); return 0;
}

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