令$d=\gcd(a,b)$,可以发现$c|(ax+by)$等价于$lcm(c,d)|(ax+by)$,因此不妨令$c'=lcm(c,d)$,然后将$a$、$b$和$c$同时除以$d$

接下来设$(a,c)=d_{1}$,根据整除的传递性有$d_{1}|(ax+by)$,由于$d_{1}|ax$,可得$d_{1}|by$,又因为$(b,d_{1})=1$,所以$d_{1}|y$

因此,可以令$y'=\lfloor\frac{y}{d}\rfloor$,然后再将$a$和$c$同除以$d_{1}$,$b$和$c$类似,最后可以令$a$、$b$和$c$两两互素

令$D\equiv \frac{a}{b}(mod\ c)$(由于$(b,c)=1$因此存在),对于$ax+by\equiv 0(mod\ c)$,可得$y\equiv -xD(mod\ c)$,取其中最小非负整数解为$Y_{x}$(特别的,当$x=0$时取$Y_{x}=c$)

$x$的范围为$[0,c]$,同时对于$x_{1}<x_{2}$,若$Y_{x_{1}}\le Y_{x_{2}}$则后者没有意义,可以通过维护一个栈,从小到大枚举$x$,若栈顶小于$Y_{x}$则将$Y_{x}$加入栈中

构造:对于一个二维平面,有一个点$(x',y')$(初始为$(0,0)$),每一次令$x'$和$y'$分别加1,然后若$x'>c$则$x'$减去$c$,若$y'\ge D$(注意等号不同)则$y'$减去$D$

当$y'=0$时,其实就对应于$x=\frac{times}{D}$和$Y_{x}=c-x'$(其中$times$为加1的次数),前者依次遍历所有$x$,因此即若$c-x'$小于栈顶时就将$c-x'$压入栈中

但此时这样的复杂度反而退化为$o(cD)$,因此考虑递归缩小$c$和$D$的范围

注意到这样两个性质:

1.当我们位于$(x',y')$,若$x'>0$且$y'+c<D$,则$c$步后必然移动到$(x',y'+c)$,由此可以令$D$不断减去$c$直至$D\le c$

注意两个细节:1.当$x'=0$,$c$步后会移动到$(c,y'+D)$;2.当$c=D$时不能减,原因同上

2.当我们位于$(x',y')$,若$x'+D\le c$且$c-(x'+D-y')$不小于栈顶则$D$步后会移动到$(x'+D,y')$,因此考虑令$t=\lfloor\frac{c}{D}\rfloor$,当$c-tD$加入栈后,可以看作$c'=c-tD$的子问题

简单模拟前面几步,不难发现一开始栈中会插入$c,c-D,...,c-tD$,因此先将这个插入后即可缩小$c$

(这里的栈其实是有重复元素的,这次的$c-tD$和下一次的$c'$是相同的,暂时看作两个不同的数)

这就是一个欧几里得的过程,因此复杂度为$o(\log_{2}c)$,且栈中至多有$o(\log_{2}c)$个等差序列(由于复杂度限制,这个栈需要通过若干个等差数列来描述)

(另外这样的过程并不容易维护$times$,但可以通过$Y_{x}$来找到最小的$x$,即$x\equiv -\frac{Y_{x}}{D}(mod\ c)$)

有两个结论:1.对于一个等差数列,由$Y_{x}$所构造出来的$x$也是等差数列;2.$x$和$Y_{x}$的等差数列公差严格单调递增(注意$Y_{x}$为负数)

由这些结论,当我们必然存在一组最优解使得取得所有组都在同一个等差数列中

反证法,假设取了第$i$个等差数列中第$i'$项和第$j$个等差数列中第$j'$项的组合(其中$i<j$),由于$i$的末尾=$i+1$的开头($j$的开头=$j-1$的末尾),强制$i'$($j'$)不能为等差数列中最后一项(第一项)

此时,不妨令$i'$取该等差数列的后一项,$j'$取该等差数列中前一项,分别对$x$和$y$分析:记$i$和$j$两个等差数列中$x$的公差分别为$d_{i}$和$d_{j}$,相比较而言$\Delta x=d_{i}-d_{j}<0$,因此更优($y$同理)

对于一个等差数列中,可以二分枚举答案,先取等差数列中第一个,之后调整一定是$x+=d_{x}$且$y-=d_{y}$(这里的$x$和$y$只所需的数量,不是限制),最多调整$ans\cdot (len-1)$($len$为等差数列长度),简单判定即可

 1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define ll long long
4 int t,a,x,b,y,c,d,s,D,inv_D,ans;
5 int gcd(int x,int y){
6 if (!y)return x;
7 return gcd(y,x%y);
8 }
9 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
10 if (!b){
11 x=1;
12 y=0;
13 return a;
14 }
15 int d=exgcd(b,a%b,y,x);
16 y-=(a/b)*x;
17 return d;
18 }
19 int inv(int k,int p){
20 int x,y;
21 exgcd(k,p,x,y);
22 return (x%p+p)%p;
23 }
24 ll div1(ll x,int y){
25 //t*y>=x
26 if (x<=0)return 0;
27 return (x+y-1)/y;
28 }
29 ll div2(ll x,int y){
30 if (x<0)return -1;
31 return x/y;
32 }
33 int query(int ay,int dy,int cnt){
34 int ax=c-1LL*ay*inv_D%c;
35 if (ay)ax%=c;
36 int dx=1LL*dy*inv_D%c;
37 int l=0,r=x+y;
38 while (l<r){
39 int mid=(l+r+1>>1);
40 //存在t使得ax*mid+t*dx<=x,ay*mid-t*dy<=y,0<=t<=cnt*mid
41 if (div1(1LL*ay*mid-y,dy)<=min(div2(x-1LL*ax*mid,dx),1LL*cnt*mid))l=mid;
42 else r=mid-1;
43 }
44 return l;
45 }
46 int main(){
47 scanf("%d",&t);
48 while (t--){
49 scanf("%d%d%d%d%d",&a,&x,&b,&y,&c);
50 d=gcd(a,b);
51 c/=gcd(c,d),a/=d,b/=d;
52 d=gcd(a,c);
53 y/=d,a/=d,c/=d;
54 d=gcd(b,c);
55 x/=d,b/=d,c/=d;
56 if (c==1){
57 printf("%d\n",x+y);
58 continue;
59 }
60 D=1LL*a*inv(b,c)%c;
61 inv_D=inv(D,c);
62 int cc=c,dd=D;
63 ans=0;
64 while (cc){
65 if (cc<dd)dd=(dd-1)%cc+1;
66 else{
67 int t=cc/dd;
68 ans=max(ans,query(cc,dd,t));
69 cc-=t*dd;
70 }
71 }
72 printf("%d\n",ans);
73 }
74 }

[atAGC045F]Division into Multiples的更多相关文章

  1. python from __future__ import division

    1.在python2 中导入未来的支持的语言特征中division(精确除法),即from __future__ import division ,当我们在程序中没有导入该特征时,"/&qu ...

  2. [LeetCode] Evaluate Division 求除法表达式的值

    Equations are given in the format A / B = k, where A and B are variables represented as strings, and ...

  3. 关于分工的思考 (Thoughts on Division of Labor)

    Did you ever have the feeling that adding people doesn't help in software development? Did you ever ...

  4. Multiples of 3 and 5

    #include<stdio.h> int main(void){ int n1, n2,n3; n1=333*(3+999)/2; n2=199*(5+995)/2; n3=66*(15 ...

  5. POJ 3140 Contestants Division 树形DP

    Contestants Division   Description In the new ACM-ICPC Regional Contest, a special monitoring and su ...

  6. 【算法题】Multiples of 3 and 5

    Multiples of 3 and 5 原题 题意如下: 找出N以内的3和5的倍数的和. 思路 1.刚看到觉得好弱智,直接遍历一遍不就OK了吗?但是第2和第3个测试用例报了TLE,超时. 2.然后想 ...

  7. 暴力枚举 UVA 725 Division

    题目传送门 /* 暴力:对于每一个数都判断,是否数字全都使用过一遍 */ #include <cstdio> #include <iostream> #include < ...

  8. GDC2016【全境封锁(Tom Clancy's The Division)】对为何对应Eye Tracked System,以及各种优点的演讲报告

    GDC2016[全境封锁(Tom Clancy's The Division)]对为何对应Eye Tracked System,以及各种优点的演讲报告 原文 4Gamer編集部:松本隆一 http:/ ...

  9. Leetcode: Evaluate Division

    Equations are given in the format A / B = k, where A and B are variables represented as strings, and ...

随机推荐

  1. iptables配置操作

    1.防火墙添加配置规则(正向) vim /etc/sysconfig/iptables 指定服务器的ip访问内访问某个端口 -A INPUT -p tcp -m iprange --src-range ...

  2. C#开发BIMFACE系列44 服务端API之计算图纸对比差异项来源自哪个图框

    BIMFACE二次开发系列目录     [已更新最新开发文章,点击查看详细] 在前两篇博客<C#开发BIMFACE系列42 服务端API之图纸对比>.<C#开发BIMFACE系列43 ...

  3. Docker 常见命令

    Docker 运行流程 辅助命令 # 1.安装完成辅助命令 docker version -------------------------- 查看docker的信息 docker info ---- ...

  4. java实现责任链模式的小demo

    //一个请假请求 public class LeaveRequest { private int leaveDays; private String name; public void leave() ...

  5. Caterpillar的启动以及自动化启动脚本

    Caterpillar的启动以及自动化启动脚本 Caterpillar是基于以太坊的BPMS,建模的BPMN图形可被Caterpillar转化为solidity程序部署到以太坊中. Caterpill ...

  6. Linux信号处理编程

    01. 学习目标 了解信号中的基本概念 熟练使用信号相关的函数 了解内核中的阻塞信号集和未决信号集作用 熟悉信号集操作相关函数 熟练使用信号捕捉函数signal 熟练使用信号捕捉函数sigaction ...

  7. the Agiles Scrum Meeting 5

    会议时间:2020.4.13 20:00 1.每个人的工作 今天已完成的工作 增量组:完成了增量开发的基础工作,初步完成了自动评测机制 issues:增量组:准备评测机制,增加仓库自动创建和管理 完善 ...

  8. UVA-1498 Activation

    UVA-1498 DP应该是肯定的,设 f [ i ] [ j ] 表示现在对中共有 i 人,Tomato在第 j 个,出现所求情况的概率,我们可以很(简单的)艰难的列出下列方程: f[i][1] = ...

  9. 六步教你如何用PADS进行PCB设计?

    在使用PADS进行PCB设计的过程中,需要对印制板的设计流程以及相关的注意事项进行重点关注,这样才能更好的为工作组中的设计人员提供系统的设计规范,同时也方便设计人员之间进行相互的交流和检查. 02 设 ...

  10. 期望 概率DP

    期望 \(x\) 的期望 \(E(x)\) 表示平均情况下 \(x\) 的值. 令 \(C\) 表示常数, \(X\) 和 \(Y\) 表示两个随机变量. \(E(C)=C\) \(E(C \time ...