P5631-最小mex生成树【线段树,并查集】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5631

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题目大意

\(n\)个点\(m\)条边的一张图，求\(mex\)值最小的一棵生成树。

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解题思路

考虑比较暴力的做法，枚举答案，然后判断其他边能否构成一棵生成树。

发现一条边会被重复加入多次，可以考虑不删除其他不动的边。

具体方法在线段树上，对于边权为\(w\)的边，每次把\(w\)丢到\([1,w-1]\cup[w+1,\infty]\)这个区间。

然后在线段树上往下走，维护一个不压缩路径但是按秩合并的可撤销堆，每次走到一个节点就把这个节点上的边加入，离开的时候就撤销掉。这样到叶节点时判断是否是一棵生成树就好了。

时间复杂度\(O(n\log n\log w)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cctype>
using namespace std;
const int N=1e6+10,L=1e5+2;
struct line{
    int x,y;
}cl[N];
int n,m,cnt,fa[N],siz[N];
vector<line> v[N<<1];
int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
int find(int x)
{return (fa[x]==x)?x:find(fa[x]);}
void unionm(int x,int y){
    x=find(x);y=find(y);
    if(x==y)return;
    if(siz[x]<siz[y])swap(x,y);
    cl[++cnt]=(line){x,y};
    siz[x]+=siz[y];fa[y]=x;
    return;
}
void clear_to(int w){
    while(cnt>w){
        int x=cl[cnt].x,y=cl[cnt].y;
        siz[x]-=siz[y];fa[y]=y;cnt--;
    }
    return;
}
void Change(int x,int L,int R,int l,int r,line w){
    if(L==l&&R==r){v[x].push_back(w);return;}
    int mid=(L+R)>>1;
    if(r<=mid)Change(x*2,L,mid,l,r,w);
    else if(l>mid)Change(x*2+1,mid+1,R,l,r,w);
    else Change(x*2,L,mid,l,mid,w),Change(x*2+1,mid+1,R,mid+1,r,w);
    return;
}
int Solve(int x,int l,int r){
    int top=cnt;
    for(int i=0;i<v[x].size();i++)
        unionm(v[x][i].x,v[x][i].y);
    if(l==r){
        if(cnt==n-1)
            return l;
        clear_to(top);
        return 0;
    }
    int mid=(l+r)>>1,k;
    if(k=Solve(x*2,l,mid))return k;
    if(k=Solve(x*2+1,mid+1,r))return k;
    clear_to(top);
    return 0;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i,siz[i]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=read(),y=read(),w=read()+1;
        if(w!=1)Change(1,1,L,1,w-1,(line){x,y});
        if(w!=L)Change(1,1,L,w+1,L,(line){x,y});
    }
    printf("%d\n",Solve(1,1,L)-1);
    return 0;
}