洛谷P1171 售货员的难题【状压DP】

题目描述

某乡有n个村庄(1

输入格式：

村庄数n和各村之间的路程(均是整数)。

输出格式：

最短的路程。

输入样例：

3

0 2 1

1 0 2

2 1 0

输出样例

3

说明

输入解释

3 {村庄数}

0 2 1 {村庄1到各村的路程}

1 0 2 {村庄2到各村的路程}

2 1 0 {村庄3到各村的路程}

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题目分析

又是一道状压DP经典

我们以一串二进制数表示村庄的集合（状态）

1表示该村庄访问过，0表示没有

定义dp[i][j]表示

从起点到第j号点

且到达时状态恰好为i的最短路

则最后答案就是min(dp[(1<< n) -1][i] + map[i][1]) （2<=i<=n）

其中map数组是题目给定的各村庄间距离

而求取dp数组的方法

我们可以借鉴Floyd的思想

具体代码：

    for(int i =0;i<=(1 << n) -1;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    if( !( (1 << j-1) & i) )
    for(int k=1;k<=n;k++)
    if( ( (1 << k-1) & i) )
    dp[((1 << j-1) | i)][j] = min(dp[((1 << j-1) | i)][j],dp[i][k] + map[k][j]);

如何解释呢

第一层循环 i 枚举每个可能的状态

第二层循环 j 枚举下一步到达的点

if( !( (1 << j-1) & i) ) 这句判断 j 是否已访问

1左移j-1位，则此时只有第j位是1

若状态 i 的第 j 位为1，则&与运算返回1，表示已访问，否则没访问

第三层循环枚举中介点k

if语句判断同上

接下来核心代码——更新

dp[ (1 << j-1) | i ][j] = min(dp[((1 << j-1) | i)][j],dp[i][k] + map[k][j]);

(1 << j-1) | i 将状态的第j为置为1得到下一步的状态

dp[i][k] + map[k][j])表示在当前状态i中寻找中介点检查最短路是否可以更新

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

int n;
int dp[1100010][25];
int map[25][25];

int main()
{

    n=read();
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
    for(int j = 1;j <= n;j ++)
    map[i][j]=read();//读入个村庄间距离

    memset(dp,63,sizeof(dp));
    dp[1][1] = 0;//状态1表示此时只有1号点访问过

    for(int i =0;i<=(1 << n) -1;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    if( !( (1 << j-1) & i) )
    for(int k=1;k<=n;k++)
    if( ( (1 << k-1) & i) )
    dp[((1 << j-1) | i)][j] = min(dp[((1 << j-1) | i)][j],dp[i][k] + map[k][j]);//核心代码，解释如上所述

    int ans = 2147483640;
    for(int i=2;i<=n;i++)//最后从状态(1<<n)-1（二进制全为1）中寻找到1最短的点
    ans=min(ans,dp[(1<<n)-1][i] + map[i][1]);

    cout<<ans;
    return 0;
}

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蒟蒻看到这题n<=20的范围挺大

担心卡常所以开了O2

最后总共跑了1392ms，最大的点跑了608ms

目测不开O2也是能过的