[HAOI 2009]逆序对数列
Description
Input
第一行为两个整数n,k。
Output
写入一个整数,表示符合条件的数列个数,由于这个数可能很大,你只需输出该数对10000求余数后的结果。
Sample Input
Sample Output
HINT
下列3个数列逆序对数都为1;分别是1 2 4 3 ;1 3 2 4 ;2 1 3 4;
100%的数据 n<=1000,k<=1000
题解
注意到逆序对的话,我们只在乎他们的相对数值,而不是具体是多少。
我们定义状态$f[i][j]$表示长度为$i$的排列,逆序对个数为$j$的方案数,显然我们转移的时候,考虑的是第$i$个数放在哪。
值得注意的是,这个数显然比之前的所有数都要大。即,我将$i$放在$i-j$的位置上,我将新获得$j$个逆序对。
我们容易想到$O(n^3)$的转移:
$$f[i][j] = {\sum_{k = 0}^{min(i-1, j)} f[i-1][j-k]}$$
边界情况是$f[1][0] = 1$。
$TLE$怎么办?前缀和优化一下就好了。
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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Abs(x) ((x) < 0 ? (-(x)) : (x))
using namespace std;
const int N = ;
const int MOD = ; int f[N+][N+], n, m;
int sum[N+]; void work() {
scanf("%d%d", &n, &m); f[][] = sum[] = ;
for (int i = ; i <= m; i++) sum[i] = sum[i-]+f[][i];
for (int i = ; i <= n; i++) {
for (int j = ; j <= m; j++) {
(f[i][j] += sum[j]) %= MOD;
if (Min(i-, j) > ) (f[i][j] -= sum[j-Min(i-, j)-]) %= MOD;
}
for (int j = ; j <= m; j++) sum[j] = sum[j-]+f[i][j];
}
printf("%d\n", (f[n][m]+MOD)%MOD);
}
int main() {
work();
return ;
}
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