<更新提示>

<第一次更新>


<正文>

Norma

Description

Input Format

第1行,一个整数N;

第2~n+1行,每行一个整数表示序列a。

Output Format

输出答案对10^9取模后的结果。

Sample Input

4
2
4
1
4

Sample Output

109

解析

可以考虑分治计算贡献,对于一次分治\((l,r,mid)\),我们只需要计算跨过中点\(mid\)的子区间带来的贡献即可。

我们可以枚举一个左端点\(L\in[l,mid]\),然后尝试计算所有的\(R\in[mid+1,r]\),区间\([L,R]\)的贡献之和,然后就是推公式了。

对于确定的\(L\),我们先假设\(min=\min\{a_L,a_{L+1},...,a_{mid}\},max=\max\{a_L,a_{L+1},...,a_{mid}\}\),然后,我们令\(p\)为满足\(a_p<min,p\in[mid+1,r]\)最小的位置,\(q\)为满足\(a_q>max,q\in[mid+1,r]\)最小的位置,然后计算贡献。

不妨设\(p\leq q\),那么对于\(R\in[mid+1,p)\),区间\([L,R]\)的最大最小值为\(min,max\),贡献为:

\[min\times max\times\sum_{R=mid+1}^{p-1} (R-L+1)
\]

直接计算即可。

对于\(R\in[p,q)\),区间的最大值为\(max\),最小值为\(\min\{a_{mid+1},...,a_R\}\),贡献为

\[max\times \sum_{R=p}^{q-1}min_R\times (R-L+1)\\=max\times \sum_{R=p}^{q-1}min_R\times R-max\times (L-1)\sum_{R=p}^{q-1}min_R
\]

维护\(min_R\times R\)和\(min_R\)两个前缀和即可。

对于\(R\in[q,r]\),区间的最大值为\(\max\{a_{mid+1},...,a_R\}\),最小值为\(\min\{a_{mid+1},...,a_R\}\),贡献为

\[\sum_{R=q}^rmax_R\times min_R\times(R-L+1)\\=\sum_{R=q}^rmax_R\times min_R\times R-(L-1)\sum_{R=q}^rmax_R\times min_R
\]

维护\(max_R\times min_R\times R\)和\(max_R\times min_R\)两个前缀和即可。

对于\(q<p\),只有第二部分不一样,其贡献为

\[min\times \sum_{R=p}^{q-1}max_R\times R-min\times (L-1)\sum_{R=p}^{q-1}max_R
\]

维护\(max_R\times R\)和\(max_R\)两个前缀和即可。

于是这道题就解决了。

\(Code:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 500020 , Mod = 1e9 , INF = 0x3f3f3f3f;
int n;
long long ans,a[N],Min[N],Max[N],sMin[N],sMax[N],MinMax[N],sMinMax[N];
inline long long add(long long a,long long b) { long long c = a + b; while ( c >= Mod ) c -= Mod; return c; }
inline void upd(long long &a,long long b) { a = add( a , b ); }
inline long long sigma(int l,int r) { return 1LL * ( l + r ) * ( r - l + 1 ) / 2 % Mod; }
inline void divide(int l,int r)
{
if ( l == r ) return upd( ans , a[l] * a[l] % Mod );
int mid = l + r >> 1; long long mn = INF, mx = 0;
divide( l , mid ) , divide( mid + 1 , r );
Min[mid] = Max[mid] = sMin[mid] = sMax[mid] = MinMax[mid] = sMinMax[mid] = 0;
for (int i=mid+1;i<=r;i++)
{
mn = min( mn , a[i] ) , mx = max( mx , a[i] );
Min[i] = add( Min[i-1] , mn ) , Max[i] = add( Max[i-1] , mx );
sMin[i] = add( sMin[i-1] , mn * i % Mod );
sMax[i] = add( sMax[i-1] , mx * i % Mod );
MinMax[i] = add( MinMax[i-1] , mn * mx % Mod );
sMinMax[i] = add( sMinMax[i-1] , mn * mx % Mod * i % Mod );
}
mn = INF , mx = 0;
int p = mid + 1 , q = mid + 1;
for (int i=mid;i>=l;i--)
{
mn = min( mn , a[i] ) , mx = max( mx , a[i] );
while ( p <= r && a[p] >= mn ) p++;
while ( q <= r && a[q] <= mx ) q++;
if ( p <= q )
{
upd( ans , mn * mx % Mod * sigma( mid - i + 2 , p - i ) % Mod );
upd( ans , mx * ( sMin[q-1] - sMin[p-1] ) % Mod - mx * (i-1) % Mod * ( Min[q-1] - Min[p-1] ) % Mod + Mod );
upd( ans , ( sMinMax[r] - sMinMax[q-1] ) - (i-1) * ( MinMax[r] - MinMax[q-1] ) % Mod + Mod );
}
if ( p > q )
{
upd( ans , mn * mx % Mod * sigma( mid - i + 2 , q - i ) % Mod );
upd( ans , mn * ( sMax[p-1] - sMax[q-1] ) % Mod - mn * (i-1) % Mod * ( Max[p-1] - Max[q-1] ) % Mod + Mod );
upd( ans , ( sMinMax[r] - sMinMax[p-1] ) - (i-1) * ( MinMax[r] - MinMax[p-1] ) % Mod + Mod );
}
}
}
int main(void)
{
freopen("norma.in","r",stdin);
freopen("norma.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]) , a[i] %= Mod;
divide( 1 , n );
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

<后记>

『Norma 分治』的更多相关文章

  1. 似魔鬼的 『 document.write 』

    在平时的工作中,楼主很少用 document.write 方法,一直觉得 document.write 是个危险的方法.楼主不用,并不代表别人不用,最近给维护的项目添了一点代码,更加深了我对 &quo ...

  2. 拾遗:『Linux Capability』

    『Linux Capability』 For the purpose of performing permission checks, traditional UNIX implementations ...

  3. 『创意欣赏』20款精致的 iOS7 APP 图标设计

    这篇文章给大家分享20款精致的 iOS7 移动应用程序图标,遵循图形设计的现代潮流,所有图标都非常了不起,给人惊喜.通过学习这些移动应用程序图标,设计人员可以提高他们的创作,使移动用户界面看起来更有趣 ...

  4. 『设计前沿』14款精致的国外 iOS7 图标设计示例

    每天都有大量的应用程序发布到 iOS App Store 上,在数量巨大的应用中想要引起用户的主要,首要的就是独特的图标设计.这篇文章收集了14款精致的国外 iOS7 图标设计示例,希望能带给你设计灵 ...

  5. Github 恶搞教程(一起『玩坏』自己的 Github 吧)

    最近在伯乐在线读到一篇趣文,<如何在 Github『正确』做贡献>,里面各种能人恶搞 Github 的『Public contributions』,下面截取几个小伙伴的战绩: 顺藤摸瓜,发 ...

  6. 『创意欣赏』30幅逼真的 3D 虚拟现实环境呈现

    又到周末了,给大家分享30幅漂亮的 3D 虚拟现实环境呈现,放松一下.这些创造性的场景都是通过 3D 图形设计软件,结合三维现实环境渲染制作出来的.一起欣赏:) 您可能感兴趣的相关文章 20幅温馨浪漫 ...

  7. [TYVJ1827]『Citric II』一道防AK好题

    时间: 1000ms / 空间: 131072KiB / Java类名: Main 背景 第二届『Citric杯』NOIP提高组模拟赛第一题 描述 Lemon认为在第一届『Citric』杯模拟赛中出的 ...

  8. 办理滑铁卢大学(本科)学历认证『微信171922772』UW学位证成绩单使馆认证University of Waterloo

    办理滑铁卢大学(本科)学历认证『微信171922772』UW学位证成绩单使馆认证University of Waterloo QQ/微信171922772办理毕业证成绩单.真实使馆及教育部学历认证★诚 ...

  9. 办理渥太华大学(本科)学历认证『微信171922772』Ottawa U学位证成绩单使馆认证University of Ottawa

    办理渥太华大学(本科)学历认证『微信171922772』Ottawa U学位证成绩单使馆认证University of Ottawa QQ/微信171922772办理毕业证成绩单.真实使馆及教育部学历 ...

随机推荐

  1. BUUCTF Hack World

    有返回 ,基于布尔得盲注这里用到异或注入(个人喜欢这样用)1^0 返回 Hello, glzjin wants a girlfriend.1^1 返回 Error Occured When Fetch ...

  2. Vue-组件模板抽离的写法

    VUE的模板分离写法. 1.第一种(不常用) <script type="text/x-template" id="myCpm"> <div& ...

  3. HeadFirst设计模式---简单工厂

    简单工厂的理解 简单工厂不是设计模式的一种,只是代码规范而且.也就是说构造一个披萨工厂出来,按不同味道生产不同的披萨. 类图 抽象披萨 public abstract class AbstractPi ...

  4. pipenv管理python开发环境

    简介 简单说,pipenv就是把pip和virtualenv包装起来的一个便携工具. 它不会在你的项目文件夹里生成一大堆东西,只有两个文本文件: Pipfile, 简明地显示项目环境和依赖包. Pip ...

  5. nacos 实现同机器上启动三个服务

    1.我们要在单台服务器上启动多个nacos实例,保证三个不同的端口,我们可以通过修改启动脚本: 打开启动脚本找到:export FUNCTION_MODE="all"    这一行 ...

  6. 【面试题】java基础(一)

    面试准备的时候遇到很多问题,在网上找的答案都是说的一大堆,这里总结归纳一下,方便之后查看. 1.谈谈final.finally.finalize的区别. final     :  修饰类,则该类不能被 ...

  7. 【ORACLE】Oracle提高篇之DECODE

    DECODE含义 decode(条件,值1,返回值1,值2,返回值2,…值n,返回值n,缺省值)这个是decode的表达式,具体的含义解释为: IF 条件=值1 THEN RETURN(翻译值1) E ...

  8. Mysql使用语法总结

    查看数据库 show databases; 使用数据库 use honeypot; 查看数据表 show tables; 查看数据表结构 desc TABLEname; 修改数据表的某个字段的类型 a ...

  9. (day44)css样式、css布局

    目录 一.css样式 (一)文字样式 (1)文字字体font-family (2)字体大小font-size (3)字体粗细font-weight (4)字体颜色color (二)文本样式 (1)文字 ...

  10. JDOJ 1927 求逆序对

    洛谷 P1908 逆序对 洛谷传送门 JDOJ 1927: 求逆序对 JDOJ传送门 题目描述 猫猫TOM和小老鼠JERRY最近又较量上了,但是毕竟都是成年人,他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏,现 ...