BSGS和EXBSGS

也许更好的阅读体验

\(Description\)

给定\(a,b,p\),求一个\(x\)使其满足\(a^x\equiv b\ \left(mod\ p\right)\)

\(BSGS\)

\(BSGS\)可以解决\(p\)为质数的情况

令 \(m=\lceil \sqrt p\rceil\)

令 \(x=i\cdot m-k\)

有 \(a^{i\cdot m-k} \equiv b\ (mod\ p)\)

两边同乘 \(a^k\) 得 \(a^{i\cdot m}\equiv b\cdot a^k\ (mod\ p)\)

我们先将右边的 \(b\cdot a^k\) 全部求出来存到一个表里,这样预处理时间复杂度为 \(\sqrt p\)

之后再枚举 \(i\) 到 \(\sqrt p\) ,看表里有没有 \(a^{i\cdot m}\ mod\ p\),有的话就有一组解

再反向求出\(x\)即可

\(EXBSGS\)

当\(p\)不是质数时

令 \(g=gcd(a,p)\)

有 \(a^{x-1}\cdot \dfrac{a}{g}\cdot g \equiv \dfrac{b}{g}\cdot g\ \left(mod\ \dfrac{p}{g}\cdot g\right)\)

把那个\(g\)除掉

\(a^{x-1}\cdot \dfrac{a}{g} \equiv \dfrac{b}{g}\ \left(mod\ \dfrac{p}{g} \right)\)

然后重复这个过程直到\(a,p\)互质

\(p\)除掉\(gcd(a,p)\)后可能仍与\(a\)有公约数,与\(\frac{a}{gcd(a,p)}\)互质

显然,在这个过程中如果\(p\)不能被\(b\)整除就无解

到最后会得到这样的方程

\(a^{x-i}\cdot c\equiv t\ \left(mod\ p\right)\)

\(c\)是由\(a\)的幂除以若干个因子得到的 \(c,t\)肯定互质

两边乘以\(c^{-1}\)(逆元)

\(a^{x-i}\equiv t\cdot c^{-1}\ \left(mod\ p\right)\)

用\(BSGS\)对\(x-i\)求解即可

最后记得加上\(i\)

\(Code\)

\(BSGS\)

ksm(a,b);//return a^b
gcd(a,b);//return gcd(a,b)
//{{{bsgs
int bsgs (int a,int b,int p)//return a^x ≡ b mod p 's x
{
	a%=p;
	if (!a&&!b)	return 1;
	if (!a)	return -1;
	int m=sqrt(p);
	map <int,int> mp;//这里用的map 也可以自己打个哈希
	int t=b%p;
	mp[t]=0;
	for (int i=1;i<=m;++i)	mp[t=1ll*t*a%p]=i;
	t=1;
	int mi=ksm(a,m);
	for (int i=1;1ll*i*i<=p+1;++i){
		t=1ll*t*mi%p;
		if (mp.count(t))	return ((1ll*i*m%p-mp[t])%p+p)%p;
	}
	return -1;
}
//}}}

\(EXBSGS\)

//{{{exbsgs
int exbsgs (int a,int b,int p)//a^x ≡ b mod p 's x
{
	if (b==1)	return 0;
	int cnt=0,t=1;
	for (int g=gcd(a,p);g!=1;g=gcd(a,p)){
		if (b%g)	return -1;
		++cnt,b/=g,p/=g;
		t=1ll*t*a/g%p;
		if (b==t)	return cnt;
	}
	int x=bsgs(a,1ll*ksm(t,p-2)*b%p,p);
	if (x!=-1)	x+=cnt;
	return x;
}
//}}}

如有哪里讲得不是很明白或是有错误，欢迎指正

如您喜欢的话不妨点个赞收藏一下吧