hdu6222——佩尔方程&&大数__int128

题意

给定一个整数 $N$($1 \leq N \leq 10^{30}$)，求最小的整数 $t$，要求 $t \geq N$，使得边长为 $t-1, t, t+1$ 的三角形面积为整数。

分析

根据海伦公式：$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，$p = \frac{a+b+c}{2}$.

代入，令 $\frac{t}{2}=x$，化简得 $S^2 = 3x^2(x^2-1)$.

题目要求 $S$ 为整数，则 $(x^2-1)$ 一定是3乘以一个平方数，

即 $x^2-1=3y^2$，即 $x^2-3y^2=1$.

易知最小解为(2, 1)，用递推式求出其他解即可。

由于题目 $N$ 的范围较大，到 1e30，可以使用 int128(1e38)，本地测试1e38内，只有67个解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int maxn = +;
__int128 xx[maxn], yy[maxn];
 
void read(__int128 &x) {
    x = ;
    char ch;
    int flag = ;
    while (ch = getchar()) {
        if (ch == '-') flag = -;
        if (ch >= '' && ch <= '') break;
    }
    x = ch-'';
    while ((ch = getchar()) >= '' && ch <= '') {
        x = x* + ch-'';
    }
    x *= flag;
}
 
void out(__int128 x) {
    if (x < ) {
        x = -x;
        putchar('-');
    }
    if (x >= ) out(x / );
    putchar(x %  +'');
}
 
void init()
{
    xx[] = , yy[] = ;
    for(int i = ;i <= ;i++)
    {
        xx[i] = xx[i-]* + yy[i-]*;
        yy[i] = xx[i-] + yy[i-]*;
    }
}
 
int main()
{
    init();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        __int128 n;
        read(n);
        for(int i = ;i <= ;i++)
        {
            if(xx[i]* >= n)
            {
                out(xx[i]*);
                printf("\n");
                break;
            }
        }
    }
}

顺便记个int128的模板，