51NOD 1149:Pi的递推式——题解
http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1149
F(x) = 1 (0 <= x < 4)F(x) = F(x - 1) + F(x - pi) (4 <= x)Pi = 3.1415926535.....现在给出一个N,求F(N)。由于结果巨大,只输出Mod 10^9 + 7的结果即可。
不好想啊……以及我曾经打了个表,并且还找到了规律,结果过到29就gg了……
参考:https://www.cnblogs.com/ivorysi/p/9197222.html
(这个参考是个神,我这样的凡人能解读到这种地步已经很不容易了)
总觉得我讲的很有问题啊……那我就顺着这个参考讲吧……
将递归展开,你就会发现是一张图,而所求即为最上层点到最下层点的方案路径数。
设$P[i]$表示到$i$这个点减几次pi到达其中一个终点,于是我们到达一次终点所需要经过的整数结点(即-1)与"非整数"结点(即-pi),可以通过设前者为$n-i$,则后者为$P[i]$,路径条数就可以用组合数求出。
但是要注意的是我们只要到达其中一个目标即会停止,即5-1-pi是合法的,而5-pi-1则是不可能的,即有些pi只能放在最后减,我们需要把这些pi扣除。
其实并不存在“这些”,事实上显然我们只有一个pi,也就是说下面的关键是判断这个pi是否会导致我们提前结束。
我们考虑,只要$i$的父亲结点(其实是$i+1$,但叫做父亲节点更好懂些)$P[i+1]>P[i]$,那么我们随便了,提前拐或者不拐最终到达的状态一定一致。
但是如果不满足的话,则我们在$i+1$或更早处转弯的话,就一定会导致我们提早结束,所以此时我们扣除这个pi即可。
这是这个参考的做法,个人感觉并不如:https://blog.csdn.net/qq_36797743/article/details/78930126这个更好想一些,但是解法比较自然,顺畅。
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#include<cctype>
#include<vector>
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#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef double dl;
typedef long long ll;
const dl pi=acos(-1.0);
const int p=1e9+;
const int N=1e6+;
inline int qpow(int k,int n){
int res=;
while(n){
if(n&)res=(ll)res*k%p;
k=(ll)k*k%p;n>>=;
}
return res;
}
int jc[N],inv[N],P[N];
void init(int n){
jc[]=;
for(int i=;i<=n;i++)jc[i]=(ll)jc[i-]*i%p;
inv[n]=qpow(jc[n],p-);
for(int i=n-;i;i--)inv[i]=(ll)inv[i+]*(i+)%p;
inv[]=;
}
inline int C(int n,int m){
return (ll)jc[n]*inv[m]%p*inv[n-m]%p;
}
int solve(int n){
if(n<)return ;
for(int i=;i<=n;i++)P[i]=(dl)(i-)/pi+;
int ans=;
for(int i=n;i>=;i--){
int s=n-i,t=P[i]-(P[i+]<=P[i]);
(ans+=C(s+t,s))%=p;
}
return ans;
}
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
init(n);
printf("%d\n",solve(n));
return ;
}
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