[BZOJ1022][SHOI2008]小约翰的游戏

bzoj

luogu

sol

显然这个玩意儿和普通\(Nim\)游戏是有区别的。

形式化的，\(Nim\)游戏的关键在于决策集合为空者负，而这里的决策集合为空者胜。

所以就显然不能直接用\(SG\)函数的那套理论。



这种“决策集合为空者胜”的博弈游戏被称为\(Anti-SG\)游戏。

有一个\(SJ\)定理是这样的：

对于一个\(Anti-SG\)游戏，如果我们规定当局面中所有的单一游戏的\(SG\)值为\(0\)时游戏结束，则先手必胜当且仅当满足下列条件之一：

游戏的\(SG\)值不为零且游戏中某个单一游戏的\(SG\)值大于一。

游戏的\(SG\)值为零且游戏中不存在某个单一游戏的\(SG\)值大于一。

放到这题中，因为石子可以被任意数量拿取，所以\(SG\)值就等于石子数量。根据\(SJ\)定理，小约翰必胜的条件就是：

所有石子异或和不为零且存在一堆石子个数大于一；

所有石子异或和为零且不存在某一堆石子个数大于一。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int gi()
{
	int x=0,w=1;char ch=getchar();
	while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
	if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return w?x:-x;
}
int main()
{
	int T=gi();
	while (T--)
	{
		int n=gi(),Max=0,Sum=0;
		for (int i=1,x;i<=n;++i)
			x=gi(),Max=max(Max,x),Sum^=x;
		puts((Sum&&Max>1)||(!Sum&&Max<=1)?"John":"Brother");
	}
	return 0;
}