细品 - 逻辑回归（LR）

1. LR的直观表述

1.1 直观表述

　　今天我们来深入了解一个人见人爱，花见花开，工业界为之疯狂，学术界。。额，好像学术界用的不多哎。不过没关系，就算学术界用的不多也遮不住它NB的光芒，它就是LR模型。LR模型可以被认为就是一个被Sigmoid函数（logistic方程）所归一化后的线性回归模型！为啥这么说呢？我们来看一下它的假设函数的样子：

　　　　

首先来解释一下的表示的是啥？它表示的就是将因变量预测成1（阳性）的概率，具体来说它所要表达的是在给定x条件下事件y发生的条件概率，而是该条件概率的参数。看到这个公式可能一脸懵逼，那我们将它分解一下：

　　　　

很容易看出将（1）代入到（2）中是不是就得到了LR模型的假设函数啦。（1）式就是我们介绍的线性回归的假设函数，那（2）式就是我们的Sigmoid函数啦。什么？为什么会用Sigmoid函数？因为它引入了非线性映射，将线性回归值域映射到0-1之间，有助于直观的做出预测类型的判断：大于等于0.5表示阳性，小于0.5表示阴性。

其实，从本质来说：在分类情况下，经过学习后的LR分类器其实就是一组权值，当有测试样本输入时，这组权值与测试数据按照加权得到

　　

这里的就是每个测试样本的n个特征值。之后在按照Sigmoid函数的形式求出，从而去判断每个测试样本所属的类别。

由此看见，LR模型学习最关键的问题就是研究如何求解这组权值！

1.2 决策边界

　　经过上面的讲解，我们应该对LR要做什么，有个一个大体上的把握。接下来，我们在深入一下，介绍一下决策边界（Decision Boundary）的概念，这将会有助于我们能更好的理解LR的假设函数究竟是在计算什么。

在上节我们了解到逻辑回归的假设函数可以表示为

，其中

在LR模型中我们知道：当假设函数，即，此时我们预测成正类；反之预测为负类。由图来看，我们可以得到更加清晰的认识。下图为Sigmoid函数，也是LR的外层函数。我们看到当时，此时（即内层函数），然而此时也正是将y预测为1的时候；同理，我们可以得出内层函数时，我们将其预测成0(即负类)。

　　　

于是我们得到了这样的关系式：

　　　　　　

这一步应该明白吧，不明白再回去看一看，它对于我们后面的理解非常重要！下面我们再举一个例子，假设我们有许多样本，并在图中表示出来了，并且假设我们已经通过某种方法求出了LR模型的参数（如下图）。

　　　　

根据上面得到的关系式，我们可以得到：

　　　　

而我们再图像上画出得到：

　　　　　　　　　　

这时，直线上方所有样本都是正样本y=1，直线下方所有样本都是负样本y=0。因此我们可以把这条直线成为决策边界。

同理，对于非线性可分的情况，我们只需要引入多项式特征就可以很好的去做分类预测，如下图：

　　　　

值得注意的一点，决策边界并不是训练集的属性，而是假设本身和参数的属性。因为训练集不可以定义决策边界，它只负责拟合参数；而只有参数确定了，决策边界才得以确定。

　　LR回归给我的直观感受就是 它利用Sigmoid的一些性质，使得线性回归（多项式回归）从拟合数据神奇的转变成了拟合数据的边界，使其更加有助于分类！就一个感触：NB！

2. 权值求解

2.1 代价函数（似然函数）

　　前面我们介绍线性回归模型时，给出了线性回归的代价函数的形式（误差平方和函数），具体形式如下：

　　　　　　　　

这里我们想到逻辑回归也可以视为一个广义的线性模型，那么线性模型中应用最广泛的代价函数-误差平方和函数，可不可以应用到逻辑回归呢？首先告诉你答案：是不可以的！ 那么为什么呢? 这是因为LR的假设函数的外层函数是Sigmoid函数，Sigmoid函数是一个复杂的非线性函数，这就使得我们将逻辑回归的假设函数带入 (1)式时，我们得到的是一个非凸函数，如下图：

　　　　　　　　

这样的函数拥有多个局部极小值，这就会使得我们在使用梯度下降法求解函数最小值时，所得到的结果并非总是全局最小，而有更大的可能得到的是局部最小值。这样解释应该理解了吧。

　　虽然前面的解释否定了我们猜想，但是也给我们指明了思路，那就是我们现在要做的就是为LR找到一个凸的代价函数！ 在逻辑回归中，我们最常用的损失函数为对数损失函数，对数损失函数可以为LR提供一个凸的代价函数，有利于使用梯度下降对参数求解。为什么对数函数可以做到这点呢？ 我们先看一下对数函数的图像：

　　　　

蓝色的曲线表示的是对数函数的图像，红色的曲线表示的是负对数的图像，该图像在0-1区间上有一个很好的性质，如图粉红色曲线部分。在0-1区间上当z=1时，函数值为0，而z=0时，函数值为无穷大。这就可以和代价函数联系起来，在预测分类中当算法预测正确其代价函数应该为0；当预测错误，我们就应该用一个很大代价（无穷大）来惩罚我们的学习算法，使其不要轻易预测错误。这个函数很符合我们选择代价函数的要求，因此可以试着将其应用于LR中。对数损失在LR中表现形式如下：

　　

对于惩罚函数Cost的这两种情况：

　　　　

给我们的直观感受就是：当实际标签和预测结果相同时，即y和同时为1或0，此时代价最小为0； 当实际标签和预测标签恰好相反时，也就是恰好给出了错误的答案，此时惩罚最大为正无穷。现在应该可以感受到对数损失之于LR的好了。

　　为了可以更加方便的进行后面的参数估计求解，我们可以把Cost表示在一行：

　　

这与我们之前给出的两行表示的形式是等价的。因此，我们的代价函数最终形式为：

　　

该函数是一个凸函数，这也达到了我们的要求。这也是LR代价函数最终形式。

2.2 似然函数的求解-梯度下降

　　前面我们得到了LR代价函数的表示形式，接下来要做的就是使用梯度下降估计参数值或参数组合。

　　梯度下降算法我们之前介绍过了：

　　　

　　通过求导，我们得到：

　　　　

咋一看，LR的梯度下降算法和线性回归算法的形式一样呀! 没错，表现形式就是一样，但是由于假设函数的不同，注定了它们就是不同的算法。代价函数的求导过程是怎么样的呢？--- 请翻到第5部分 【代价函数的求导过程】！

3. LR之多分类问题

　　传统的LR模型只可以用于二分类，这是因为Sigmoid函数将值域映射到0-1之间，以0.5为分割点，将其划分成两部分用于判别正负样例。那么LR怎么才能用于多分类呢？这就要靠Softmax函数了!

　　什么是Softmax函数？ 假设我们有一个数组A，表示的是数组A中的第i个元素，那么这个元素的Softmax值就是

　　　　　　　　　　　　

也就是说，是该元素的指数，与所有元素指数和的比值。

　　LR对于多分类，采取了one-vs-all策略。该策略可以描述为：当用一个测试用例做分类预测时，将1类看作正类，余下的所有类看做负类，用LR得到P(y=1)，这样每一类都会一个概率值，然后选择其中最大数值所对应的类别，将该类别作为预测结果的最终类别。这就是Softmax！以前看到过一个搞笑但似乎没毛病的解释，分享给大家，是这样说的：svm只选择自己喜欢的男神，softmax把所有备胎都拉出来打个分，最后还归一化一下。是不是理解了Softmax用意啦。

　　　　　　

4. LR模型优缺点分析

优点：

　　1.　　实现简单，广泛应用于工业界。

　　2.　　输入结果并不是一个离散值或确切的类型，而是一个与每个输入样本相关的概率列表，这样我们可以任意设定阈值，从而得到我们想要的分类输入。

　　3.　　LR对数据中的小噪音的鲁棒性很好，并且轻微的多重共线性不会对其结果产生特别的影响。严重的多重共线性可以使用LR+l2正则来解决。

缺点：

　　1.　　当样本量很大时，LR的性能并不是很好。

　　2.　　不能很好的处理大量的多类特征和变量。

　　3.　　容易欠拟合

　　4.　　传统的LR只能处理二分类，在此基础上衍生的Softmax才能处理多分类。

　　5.　　对于非线性特征，需要进行转换。

总结： 知道了LR有什么优缺点了，那么我们什么情况下，最为应该选择LR模型作为我们的分类预测算法呢？

应用条件有：

　　1.　　当你需要一个概率的框架时

　　2.　　当你希望以后可以将更多的训练数据快速整合到模型中去时

满足这两点应用条件，那就选择LR吧。

5. 代价函数的求导过程

故，sigmoid函数的导数