Catalan数——卡特兰数
一、Catalan数的定义
令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递归式:h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
该递推关系的解为:h(n) = C(2n,n)/(n+1),n=0,1,2,3,... (其中C(2n,n)表示2n个物品中取n个的组合数)
二、问题描述
12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?
问题分析:
我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.
用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案.
比如000000111111就对应着
第一排:0 1 2 3 4 5
第二排:6 7 8 9 10 11
010101010101就对应着
第一排:0 2 4 6 8 10
第二排:1 3 5 7 9 11
问题转换为,这样的满足条件的01序列有多少个。
观察规律我们发现1的出现前边必须有一个相应的0对应,所以从左到右的所有序列中0的个数要一直大于1的个数。那这种数列有多少种排列方式呢?
那么我们从左往右扫描,第一次出现1的个数等于0的个数是第k位,那么在此之前,0的个数是大于1的个数的。在此之后,0的个数也是大于1的个数的。所以第k位0和1的个数第一次相等的排列有他们这两部分的个数相称的结果。那么所有的k有多少种,则把它们相加起来,就是最后的排列数。这是一个递归的问题。
即 h(n)=h(0)×h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)
如果把0看成入栈操作,1看成出栈操作,就是说给定6个元素,合法的入栈出栈序列有多少个。
在<<计算机程序设计艺术>>,第三版,Donald E.Knuth著,苏运霖译,第一卷,508页,给出了证明:
问题大意是用S表示入栈,X表示出栈,那么合法的序列有多少个(S的个数为n)
显然有c(2n, n)个含S,X各n个的序列,剩下的是计算不允许的序列数(它包含正确个数的S和X,但是违背其它条件)。
在任何不允许的序列中,定出使得X的个数超过S的个数的第一个X的位置。然后在导致并包括这个X的部分序列中,以S代替所有的X并以X代表所有的S。结果是一个有(n+1)个S和(n-1)个X的序列。反过来,对一垢一种类型的每个序列,我们都能逆转这个过程,而且找出导致它的前一种类型的不允许序列。例如XXSXSSSXXSSS必然来自SSXSXXXXXSSS。这个对应说明,不允许的序列的个数是c(2n, n-1),因此h(n )= c(2n, n) - c(2n, n-1)。
三、递推公式
1、给定n个数,有多少种出栈序列?
( 问题的形象描述:
饭后,姐姐洗碗,妹妹把姐姐洗过的碗一个一个放进碗橱摞成一摞。一共有n个不同的碗,洗前也是摞成一摞的,也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时,姐姐则把洗过的碗摞在旁边,问:小妹摞起的碗有多少种可能的方式?
一个有n个1和n个-1组成的字串,且前k个数的和均不小于0,那这种字串的总数为多少?
P=A1A2A3……An,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?)
2、n个节点的二叉树有多少种构型?
3、有n+1个叶子的满二叉树的个数?
4、在n*n的格子中,只在下三角行走,每次横或竖走一格,有多少中走法?
5、将一个凸n+2边形区域分成三角形区域的方法数?
6、在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
7、n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数?
上面一些问题有些是同构的,但有些却实在看不出联系来,他们的答案却都为卡特兰数。
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