NIM(2)“拈”游戏分析

1. 问题

  有N块石头和两个玩家A和B,玩家A先将石头分成若干堆,然后按照BABA……的顺序不断轮流取石头,能将剩下的石头一次取光的玩家获胜。每次取石头时,每个玩家只能从若干堆石头中任选一堆,取这一堆石头中任意数目(大于1)个石头。

请问:玩家A有必胜策略吗?要怎么分配和取石头才能保证自己有把握取胜?

2. 解法与分析

据说,该游戏起源于中国,英文名字叫做“NIM”,是由广东话“拈”(取物之意)音译而来,经由当年到美洲打工的华人流传出去,这个游戏一个常见的变种是将十二枚硬币分三列排成 [3,4,5] 再开始玩 。我们这里讨论的是一般意义上的“拈”游戏。

言归正传,在面试者咄咄逼人的目光下,你要如何着手解决这个问题?

在面试中,面试者考察的重点不是“what”——能否记住某道题目的解法,某件历史事件发生的确切年代,C++语言中关于类的继承的某个规则的分支等。面试者很想知道的是“how”——应聘者是如何思考和学习的。

所以,应聘者得展现自己的思路。解答这类问题应从最基本的特例开始分析。我们用N表示石头的堆数,M表示总的石头数目。

当N=1时,即只有一堆石头——显然无论你放多少石头,你的对手都能一次全拿光,你不能这样摆。

当N=2时,即有两堆石头,最简单的情况是每堆石头中各有一个石子(1,1)——先让对手拿,无论怎样你都可以获胜。我们把这种在双方理性走法下,你一定能够赢的局面叫作安全局面。

当N = 2,M > 2时,既然(1, 1)是安全局面,那么(1, X)都不是安全局面,因为对手只要经过一次转换,就能把(1, X)变成(1, 1),然后该你走,你就输了。既然(1, X)不安全,那么(2, 2)如何?经过分析,(2,2)是安全的,因为它不能一步变成(1,1)这样的安全局面。这样我们似乎可以推理(3, 3)、(4, 4),一直到(X, X)都是安全局面。

于是我们初步总结,如果石头的数目是偶数,就把它们分为两堆,每堆有同样多的数目。这样无论对手如何取,你只要保证你取之后是安全局面(X, X),你就能赢。

好,如果石头数目是奇数个呢?

当M=3的时候,有两种情况,(2, 1)、(1, 1, 1),这两种情况都会是先拿者赢。

当M=5的时候,和M=3类似。无论你怎么摆,都会是先拿者赢。

若M=7呢?情况多起来了,头有些晕了,好像也是先拿者赢。

我们在这里得到一个很重要的阶段性结论:

当摆放方法为(1, 1,…, 1)的时候,如果1的个数是奇数个,则先拿者赢;如果1的个数是偶数个,则先拿者必输。

当摆放方法为(1, 1,…, 1, X)(多个1,加上一个大于1的X)的时候,先拿者必赢。因为:

如果1有奇数个,先拿者可以从(X)这一堆中一次拿走X-1个,剩下偶数个1——接下来动手的人必输。

如果有偶数个1,加上一个X,先拿者可以一次把X都拿光,剩下偶数个1——接下来动手的人也必输。

当然,游戏是两 个人玩的,还有其他的各种摆法,例如当M = 9的时候,我们可以摆为(2, 3, 4)、(1, 4, 4)、(1, 2, 6),等等,这么多堆石头,它们既互相独立,又互相牵制,那如何分析得出致胜策略呢?关键是找到在这一系列变化过程中有没有一个特性始终决定着输赢。这个 时候,就得考验一下真功夫了,我们要想想大学一年级数理逻辑课上学的异或(XOR)运算。异或运算规则如下:

XOR(0, 0)= 0

XOR(1, 0)= 1

XOR(1, 1)= 0

首先我们看整个游戏过程,我们从N堆石头(M1, M2, …, Mn)开始,双方斗智斗勇,石头一直递减到全部为零(0, 0,…, 0)。

当M为偶数的时候,我们的取胜策略是把M分成相同的两份,这样就能取胜。

开始:(M1, M1)      它们异或的结果是XOR(M1, M1)= 0

中途:(M1, M2)      对手无论怎样从这堆石头中取,XOR(M1, M2)!= 0

我方:(M2, M2)      我方还是把两堆变相等。XOR(M2, M2)= 0

最后:(M2, M2)      我方取胜

类似的,若M为奇数,我们把石头分成(1, 1, …,1)奇数堆的时候,XOR(1, 1,…,1)[奇数个] !=0。而这时候,对方可以取走一整堆,XOR(1, 1,…, 1)[偶数个]=0,如此下去,我方必输。

我们推广到M为奇数,但是每堆石头的数目不限于1的情况,看看XOR值的规律:

开始:(M1, M2, …, Mn)           XOR(M1, M2, … Mn)=?

中途:(M1’, M2’, … Mn’)        XOR(M1’, M2’, … Mn’)=?

最后:(0, 0, …, 0)                   XOR(0,0,… 0)=0

不幸的是,可以看出,当有奇数个石头时,无论你如何分堆,XOR(M1, M2, … Mn) 总是不等于0!因为必然会有奇数堆有奇数个石头(二进制表示最低位为1),异或的结果最低位肯定为1。                                                                                            [结论1]

再不幸的是,还可以证明,当XOR(M1, M2, … Mn)!= 0时,我们总是只需要改变一个Mi的值,就可以让XOR(M1, M2, …Mi’,… Mn)= 0。                        [结论2]

更不幸的是,又可以证明,当XOR(M1, M2, … Mn)= 0时,对任何一个M值的改变(取走石头),都会让XOR(M1, M2, …Mi’,… Mn)! = 0。                      [结论3]

有了这三个“不幸”的结论,我们不得不承认,当M为奇数时,无论怎样分堆,总是先动手的人赢。

还不信?那我们试试看:当M=9,随机分堆为(1,2,6)

开始:(1,2,6)

1=0 0 1
       2=0 1 0
       6=1 1 0
    XOR=1 0 1            即XOR(1,2,6)!=0

B先手:(1, 2, 3),即从第三堆取走三个,得到(1,2,3)

1=0 0 1
       2=0 1 0
       3=0 1 1
    XOR=0 0 0            所以,XOR(1,2,3)=0

A方:(1, 2, 2)XOR(1, 2, 2)!=0。

B方:(0, 2, 2)XOR (0, 2, 2)=0

……A方继续顽抗……

B方最后:(0, 0, 0),XOR(0, 0, 0)= 0

好了,通过以上的分析,我们不但知道了这类问题的答案,还知道了游戏的规律,以及如何才能赢。XOR,这个我们很早就学过的运算,在这里帮了大忙。我们应该对XOR说Orz才对!

有兴趣的读者可以写一个程序,返回当输入为(M1, M2, …, Mn)的时候,到底如何取石头,才能有赢的可能。比如,当输入为(3, 4, 5)的时候,程序返回(1, 4, 5)——这样就转败为胜了!程序如下:

 package chapter1youxizhileNIM2;
/**
* NIM(2)"拈"游戏分析
* @author DELL
*
*/
public class NIM2 {
private int[] a; //分堆数组
//构造方法
public NIM2(int[] a){
this.a = a;
}
//获取取石头的方法
public void getResult(){
int temp; //临时存储计算结果
int sum = a[0]; //存储所有数组元素的异或结果
int i,j;
System.out.print("原始分堆情况:(");
for(i=0;i<a.length-1;i++){
System.out.print(a[i]+",");
}
System.out.println(a[a.length-1]+")");
for(j=1;j<a.length;j++){
sum ^= a[j];
}
for(i=0;i<a.length;i++){
temp = sum^a[i];
if(temp<a[i]&&temp>=0){
a[i] = temp;
break;
}
}
if(i>=a.length)
System.out.println("怎样取都无法取胜!");
else{
System.out.print("取完后的分堆情况:(");
for(i=0;i<a.length-1;i++){
System.out.print(a[i]+",");
}
System.out.println(a[a.length-1]+")");
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] a = {3,4,5};
NIM2 nima = new NIM2(a);
nima.getResult();
int[] b = {1,2,6};
NIM2 nimb = new NIM2(b);
nimb.getResult();
} }

该程序的时间复杂度为O(N),N为堆的个数。

程序运行结果如下:

原始分堆情况:(3,4,5)
取完后的分堆情况:(1,4,5)
原始分堆情况:(1,2,6)
取完后的分堆情况:(1,2,3)

3. 扩展问题

1.如果规定相反,取光所有石头的人输,又该如何控制局面?

分析方法同上。

2.如果每次可以挑选任意K堆,并从中任意取石头,又该如何找到必胜策略呢?

分析方法同第1章 游戏之乐——NIM(1)一排石子的游戏扩展问题。

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