行列式&矩阵树定理

行列式:

定义

对于一个$n*n$的矩阵A行列式取值（标量）

$det(A)=|A|=\sum\limits_p(-1)^{\tau(p)}\prod\limits_{i=1}^na_{i,p_i}$

$\tau(p)$即排列$p$的逆序对个数。

性质

证明后面再补

1.$|A|=|A^T|$，即排列是按排列p下表为行的行列式等同于排列p下标为列的得到的行列式。

2.交换两行（列），行列式取相反数

3.把一个矩阵的一行（列）的值全部乘一个常数加到另一行（列）上，行列式值不变。

求解

看看性质3,是不是很像高斯消元。

然后高斯消元后面得到的是一个倒三角矩阵。(除了这个斜下对角线排列，其它排列都含零）

画画图可以发现，最后答案是$\prod\limits_{i=1}^na_{i,i}$。中途注意维护一下交换两行带来的正负的变化。

ps.下面这道题消元用的是辗转相减（除），因为p不一定是质数，不一定能求逆元。

code【模板】行列式求值:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=605;

int n,p,a[N][N];

void Gauss() {

	int opt=1;

	for(int i=1;i<=n;i++) {

		for(int j=i+1;j<=n;j++) {

			while(a[i][i]) {

				int d=a[j][i]/a[i][i];

				for(int k=1;k<=n;k++) {a[j][k]-=1ll*a[i][k]*d%p;a[j][k]%=p;}

				opt=-opt;swap(a[i],a[j]);

			}

			opt=-opt;swap(a[i],a[j]);

		}

	}

	int ans=opt;

	for(int i=1;i<=n;i++)ans=1ll*ans*a[i][i]%p;

	printf("%d",(ans+p)%p);

}

int main() {

	scanf("%d%d",&n,&p);

	for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) {scanf("%d",&a[i][j]);}

	Gauss();

	return 0;

}

矩阵树定理

求解的是一个图中的所有生成树边权积的和。

无向图

定义Laplace矩阵L为：

$L(G)=D(G)-A(G)$

其中$D(G)$为度数矩阵。每个$D_{i,i}=deg[i]$其余行列不等的值为$0$。$A(G)$为邻接矩阵。

$|L(G)|$即为答案。

ps.自环不计入
有向图

出树（从根往外连）：$D$为$in[]$入度

入树（从外往根连）：$D$为$out[]$出度

特别的：生成树的个数$t(G)$即把边权赋为1，这样每个生成树的权值就是1。
code【模板】Matrix-Tree 定理:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=305;

const int mod=1e9+7;

ll a[N][N],mul,opt=1;

int n,m,t;

ll ksm(ll a,ll b) {ll res=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)res=res*a%mod;return res;}

void Gauss() {

	opt=1;

	for(int i=2;i<n;i++) {

		int r=i;

		while(r<=n&&!a[r][i]) r++;

		if(r>n) {continue;}

		if(r!=i) {swap(a[r],a[i]);opt=-opt;}

		for(int j=i+1;j<=n;j++) {

			ll d=a[j][i]*ksm(a[i][i],mod-2)%mod;

			for(int k=2;k<=n;k++) a[j][k]-=a[i][k]*d,a[j][k]%=mod;

		}

	}

	mul=opt;

	for(int i=2;i<=n;i++)mul=mul*a[i][i]%mod;

	mul=(mul+mod)%mod;

	printf("%lld\n",mul);

}

int main() {

//	freopen("data.in","r",stdin);

	scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);

	for(int i=1;i<=m;i++) {

		int u,v,w;scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);

		a[u][v]=(a[u][v]-w)%mod;a[v][v]=(a[v][v]+w)%mod;

		if(!t) {a[v][u]=(a[v][u]-w)%mod;a[u][u]=(a[u][u]+w)%mod;}

	}

	Gauss();

	return 0;

}

BEST 定理

设$G$是有向欧拉图，求欧拉回路个数

$ec(G)=t_{out(G)}*\prod\limits_{v \in V}(deg[v]-1)!$

ps.欧拉图即含欧拉回路的图，满足$in[v]=out[v]$，而且选哪个根都一样。