Petrozavodsk Winter Training Camp 2018

Problem A. Mines

题目描述：有$n$个炸弹放在$x$轴上，第$i$个位置为$p_i$，爆炸半径为$r_i$，引爆第$i$个炸弹的花费为$c_i$。但一个炸弹$i$爆炸时，在爆炸半径内的其它炸弹都会爆炸，而且不用花费。有$Q$个操作，每次改变一个炸弹的花费，然后输出引爆所有炸弹的最小费用。

solution
不会。

Problem B. Balls

题目描述：有$n$个直径为$1$的球在$x$轴上，编号从$1$到$n$，第$i$个球的最左边的位置为$p_i$。在$x=P$处有一堵墙。有$Q$个操作，有两类操作：1、放一个球，最左边的位置为$x$，如果已经有球，则不放。 2、滚动最左边的球，当一个球碰到另一个球时，那个球立刻停止，另一个球开始向右滚，直到碰到墙停下。输出最后每个球的位置。

solution
用一个$set$记住每个球的位置，当有滚动操作时，相当于将最左边的球拿出来，然后将其它球的位置减一，最后在墙的左边放一个球，用一个变量$delta$记住$set$的位置减了多少次$1$即可。

时间复杂度：$O(nlogn)$

Problem C. Flip a Coin

题目描述：有两个人在玩抛硬币游戏，每个人先选择一个只有'H', 'T'的字符串，然后不断地抛硬币，正面为'H', 反面为'T', 当硬币序列出现这两个人选择的序列时结束，谁的序列出现谁就赢。若同时出现，则平手。问每个人赢的概率以及平手的概率。

solution
考虑第一个人赢的概率。
将两个序列的前缀看成一个个点，设空串为一个点，每个点其实就代表着一种匹配的情况，每个点都会连出两条边，表示从这个点分别有$\frac{1}{2}$的概率经过某条边到达下一个匹配情况，然后可以列出若干条概率方程，每个未知量表示到达这个状态后能赢的概率，显然第一个序列的概率为$1$，第二个序列的概率为$0$，注意现考虑第二个序列，因为同时出现是算平手的。然后解方程解出答案。
第二个人赢的概率也是类似的解法。
平手的答案为$1$减上面两个答案的和。

时间复杂度：$O(n^3)$

Problem D. Octagons

题目描述：如下图给边编号，给出一个字符串，问起点和终点是否重合。

solution
以'a', 'b'的环为例，若序列中存在'ababa'，则相当于'aba'，即在一个环内到同一个点的两种走法，后者构成的序列较短。当序列中存在相邻两个相同的字符，则这两个字符可以消掉，因为相当于走了相同的边（回头路）。按这两个规则消除字符，最后剩下空串的说明起点与终点重合，否则不是。

时间复杂度：$O(n)$

Problem E. Tree Paths

Problem F. Very New York

题目描述：在二维平面上有$n$个点，现在有$Q$个询问，每次询问给出一个点$P$以及一个距离$d$，问与点$P$的哈密顿距离不超过$d$的有多少个点。

solution
转变坐标系，BIT套vector。

时间复杂度：$O(Qlog^2n)$

Problem G. Sheep

Problem H. Bin Packing

题目描述：有$n$个物品，每个物品的重量为$w_i$，将这个物品分成若干份，使得每一份的总重量不超过$S$，问最少分成多少份。

solution
状态压缩。记$f[sett]$表示已分配的为$sett$，分成的最少份数，$g[sett]$表示最后一份的重量。然后枚举下一个要分配的物品为$i$，能分到最后一份的塞到最后一份去，否则新开一份。

时间复杂度：$O(2^nn)$

Problem I. Statistics

Problem J. Zigzag

题目描述：给出两个序列$a, b$，求出这两个序列的最长公共震荡序列($a_{i+1}>a_i and a_{i+1}>a_{i+2} or a_{i+1}<a_i and a_{i+1}>a_{i+2})$。

solution
设$f[i][j]$表示$a_i==b_j$且最后是向下走的最大值，$g[i][j]$为$a_i==b_j$且最后是向上走的最大值。用两个二维BIT维护最后一个数为$x$，对应$b$序列的第$y$位的$f, g$最大值。然后$i$从小到大枚举，$j$从大到小枚举，不断更新，维护。

时间复杂度：$O(nmlog(n)log(m))$

Problem K. Knapsack