【题目】F. Paths

【题意】给定数字n,图上有编号为1~n的点,两点当且仅当gcd(u,v)≠1时有连边,定义d(u,v)为两点间最短距离(若不连通则为0),求Σd(u,v),1<=u<v<=n,n<=10^7。

【算法】数论

【题解】对于1<=x<=n,当x=1或x是大于n/2的素数时,x是孤立节点。

令p[x]表示x的最小素因子,考虑任意一对点的连边情况:

1.d=0:当至少一个点是孤立节点时,d(u,v)=0,否则都能通过下面的情况到达。

2.d=1:当gcd(u,v)≠1时,对数为one=Σx-1-φ(x),1<=x<=n。

3.d=2:p[u]*p[v]<=n时,可以通过u - p[u]*p[v] - v这条路径到达。(思路:两边最小素因子的乘积是最小中转点)

4.d=3:通过 u - 2*p[u] - 2*p[v] - v 到达。(思路:用最小的素因子2沟通)

通过情况1,容易计算出除了孤立节点外的点对总数sum。

情况2也容易计算(记为one),那么只须计算出情况3,情况4也可以用sum减去2和3得到。

如何计算满足p[u]*p[v]<=n&&gcd(u,v)=1的点对数?先计算满足p[u]*p[v]<=n(1<=u,v<=n)的点对数,然后减去u=v的情况,除以2后再减去one(u,v互素)即可得到。

复杂度O(n)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=;
int prime[maxn],p[maxn],n,tot,phi[maxn],num[maxn],can;
ll one=,two=,three=,s[maxn];
int main(){
scanf("%d",&n);
phi[]=;
for(int i=;i<=n;i++){
if(!p[i]){p[i]=prime[++tot]=i;phi[i]=i-;}
for(int j=;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){
p[i*prime[j]]=prime[j];
if(i%prime[j]==){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-);
}
}
for(int i=;i<=n;i++)one+=i--phi[i];
for(int i=;i<=n;i++)num[p[i]]++;
for(int i=;i<=n;i++)s[i]=s[i-]+num[i];
for(int i=;i<=n;i++)two+=1ll*num[i]*s[n/i];
for(int i=;i<=n;i++)if(1ll*p[i]*p[i]<=n)two--;
two=two/-one;
three=;can=n-;
for(int i=;i<=tot;i++)if(prime[i]*>n)can--;
three=1ll*can*(can-)/-two-one;
printf("%lld",one*+two*+three*);
return ;
}//learn from 1234567891

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