【CZY选讲·逆序对】

题目描述

LYK最近在研究逆序对。 这个问题是这样的。 一开始LYK有一个2^n长度的数组ai。 LYK有Q次操作，每次操作都有一个参数k。表示每连续2^k长度作为一个小组。假设 n=4,k=2，则a[1],a[2],a[3],a[4]为一个小组，a[5],a[6],a[7],a[8]为一个小组， a[9],a[10],a[11],a[12]为一个小组，a[13],a[14],a[15],a[16]也为一个小组。 然后LYK对于每个小组都翻转，也就是说原数组会变成 a[4],a[3],a[2],a[1],a[8],a[7],a[6],a[5],a[12],a[11],a[10],a[9],a[16],a[15],a[14],a[13 ]。之后它想求出这2^n个数的逆序对是多少。 因此你需要输出对于每次操作，操作完后这2^n个数的逆序对有多少对。两个数ai,aj被称为逆序对当且仅当iaj。

数据范围

n<=17，Q<=200000，1<=ai<=2^n。

题解：        

         ①尝试将操作转化为可以记录翻转状态的形式

         ②找规律：

     对f[1]+f[2]+f[3]+f[4]+f[5]+f[6]+f[7]+f[8]进行2^3操作

                             f[1]+f[2]+f[3]+f[4]+f[5]+f[6]+f[7]+f[8] 

                           =f[2]+f[1]+f[4]+f[3]+f[6]+f[5]+f[8]+f[7] 

                           =f[4]+f[3]+f[2]+f[1]+f[8]+f[7]+f[6]+f[5] 

                           =f[8]+f[7]+f[6]+f[5]+f[4]+f[3]+f[2]+f[1]

           ③然后每次2^k操作转化为按照上述方式(认真观察上述方式)交换长度为2¹,2²…2^k子区间

           ④使用down[i]表示按照上述规律的翻转的长度为2ⁱ单位区间每一对之间的逆序对数之和。

             ⑤使用up[i]表示按照上述规律的翻转的长度为2ⁱ单位区间每一对之间的顺序对数之和。

           ⑥使用f[i]表示当前区间是否被反转。

           ⑦每次询问处理：O(logn),小于k的区间就根据f[i]加,大于k的直接加

           ⑧初始化使用归并排序求出原先的总逆序对数同时初始化down,up,f

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#include <algorithm>
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using namespace std;
const int N=(1<<17)+5;
long long st[N][20],ST[N][20];
int p[N],i,sum,o,a[N],b[N],n,T,PP,now,j,A,RR[N];
void gb(int l,int r)
{
    if (l==r) return;
    int mid=(l+r)/2;
    gb(l,mid); gb(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,o=l;
    for (i=l; i<=r; i++) b[i]=a[i];
    for (i=r; i>=mid; i--) {RR[i]=i; if (i!=r && b[i+1]==b[i]) RR[i]=RR[i+1];}
    i=l; j=mid+1;
    while (i<=mid && j<=r)
    {
        if (b[i]<=b[j]) {a[o++]=b[i];if (b[i]==b[j]) ST[l][p[r-l+1]]+=RR[j]-j+1; i++;} else
        {
            a[o++]=b[j]; st[l][p[r-l+1]]+=mid-i+1;

            j++;
        }
    }
    if (i<=mid) for (j=i; j<=mid; j++) a[o++]=b[j]; else
    if (j<=r) for (i=j; i<=r; i++) a[o++]=b[i];
}
long long t[105],TT[105];
int main()
{
    freopen("pair.in","r",stdin);
    freopen("pair.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    sum=(1<<n);
    for (i=1; i<=sum; i++) scanf("%d",&a[i]);
    for (i=1; i<=17; i++) p[1<<i]=i;
    gb(1,sum);
    scanf("%d",&T);
    for (i=1; i<=n; i++)
      for (j=1; j<=(1<<n); j+=(1<<i))
      {
          t[i]+=st[j][i];
          TT[i]+=ST[j][i];
      }
    long long ans=0;
    while (T--)
    {
        int Q;
        scanf("%d",&Q);
        for (i=1; i<=Q; i++) t[i]=1ll*(1<<i-1)*(1<<i-1)*(1<<n-i)-TT[i]-t[i];
        for (i=1; i<=n; i++) ans+=t[i];
        printf("%I64d\n",ans); ans=0;
    }
    return 0;
}//czy020202

 

No need to doubt all my lost to faded glory,

My soul is small but longs to roam.——————汪峰《Song Of Redemption》