loj#6363. 「地底蔷薇」（拉格朗日反演+多项式全家桶）

题面

传送门

题解

肝了一个下午……我老是忘了拉格朗日反演计算的时候多项式要除以一个\(x\)……结果看它推倒简直一脸懵逼……

做这题首先你得知道拉格朗日反演是个什么东西->这里

请坐稳，接下来就要开始推倒了

首先我们要知道\(n\)个点的有根无向连通图的个数，带标号

设\(G(x)\)为\(n\)个点有根无向图的个数的生成函数，\(F(x)\)为\(n\)个点有根无向连通图的个数的生成函数，那么有\(G(x)=\sum_{i=1}^\infty 2^{i\choose 2}x^i\)以及\(F(x)=e^{G(x)}\)

我们记带标号有根无向连通图的生成函数为\(H(x)\)，记\(b_k\)表示\(k+1\)个点在同一个点双中的方案树，以及\(B(x)=\sum_{k\geq 1}{b_k\over k!}x^k\)

考虑一个有根连通图，如果我们去掉根节点，那么整张图会分成若干个连通块，对于一个连通块，根节点一定和这个连通块中的一些点构成点双，且这个点双中不包含其他连通块里的点。那么我们把这个点双中的所有边都去掉，这个连通块又会分成若干个以这些点为根的小连通块，可以看做连通块由小连通块构成。那么我们枚举这个连通块中有多少个点和根节点构成了点双，一个连通块的贡献就是

\[\sum_{k\geq 1}{b_k\over k!}H^k(x)=B(H(x))
\]

那么整个连通图就有

\[H(x)=xe^{B(H(x))}
\]

我们现在已知\(H(x)\)，要求\(B\)中某些元素的值（那些\(S\)中的元素）

推倒一下有

\[{H(x)\over e^{B(H(x))}}=x
\]

我们设\(H^{-1}(x)={x\over e^{B(x)}}=x\)，有\(H^{-1}(H(x))=x\)，即\(H^{-1}(x)\)是\(H(x)\)的复合逆

然后继续推倒，得\(B(x)=\ln {x\over H^{-1}(x)}\)

于是我们就可以用拉格朗日反演求出\(H^{-1}(x)\)从而求得\(B(x)\)了

我们令\(G(H^{-1}(x))=B(x)=\ln {x\over H^{-1}(x)}\)，从而可以推出\(G(H^{-1}(H(x)))=G(x)=\ln{H(x)\over x}\)

根据拉格朗日反演定理，我们就可以求出\([x^n]B(x)\)了

\[[x^n]B(x)=[x^n]G(H^{-1}(x))=[x^-1]{1\over n}G'(x){1\over H^n(x)}
\]

不要忘了计算的时候\(H(x)\)要除掉一个\(x\)再带进去计算

每次计算一个值的复杂度为\(O(k\log k)\)，总复杂度为\(O(m\log m)\)

我们记

\[A(x)=\sum_{k+1\in S}{b_k\over k!}x^k
\]

\[F(x)=xe^{A(F(x))}
\]

则\(F(x)\)即为答案的生成函数，根据上面推倒的易知\(F^{-1}(x)={x\over e^{A(x)}}\)，拉格朗日反演即可得到\(F(x)\)

\[[x^n]F(x)=[x^{-1}]{1\over n}{1\over ({x\over e^{A(x)}})^n}=[x^{-1}]{1\over n}{e^{nA(x)}\over x^n}=[x^{n-1}]{1\over n}{e^{nA(x)}}
\]

计算的时候后面那个要除以一个\(x\)！不要忘记！

然后没有然后了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=5e5+5,P=998244353,Gi=332748118;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R ll y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
int O[N],r[N],H[N],G[N],F[N],inv[N],fac[N],ifac[N],lim,l,n,m,len,x;
inline void init(R int len){
	lim=1,l=0;while(lim<len)lim<<=1,++l;
	fp(i,0,lim-1)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
}
void NTT(int *A,int ty){
	fp(i,0,lim-1)if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
	for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		int I=(mid<<1),Wn=ksm(ty==1?3:Gi,(P-1)/I);O[0]=1;
		fp(i,1,mid-1)O[i]=mul(O[i-1],Wn);
		for(R int j=0;j<lim;j+=I)fp(k,0,mid-1){
			int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]);
			A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
		}
	}
	if(ty==-1)for(R int i=0,inv=ksm(lim,P-2);i<lim;++i)A[i]=mul(A[i],inv);
}
void Inv(int *a,int *b,int len){
	if(len==1)return b[0]=ksm(a[0],P-2),void();
	Inv(a,b,len>>1);static int A[N],B[N];init(len<<1);
	fp(i,0,len-1)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	fp(i,len,lim-1)A[i]=B[i]=0;
	NTT(A,1),NTT(B,1);
	fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],mul(B[i],B[i]));
	NTT(A,-1);
	fp(i,0,len-1)b[i]=dec(add(b[i],b[i]),A[i]);
	fp(i,len,lim-1)b[i]=0;
}
void Ln(int *a,int *b,int len){
	static int A[N],B[N];
	fp(i,1,len-1)A[i-1]=mul(a[i],i);A[len-1]=0;
	Inv(a,B,len);init(len<<1);fp(i,len,lim-1)A[i]=B[i]=0;
	NTT(A,1),NTT(B,1);
	fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],B[i]);
	NTT(A,-1);
	fp(i,1,len-1)b[i]=mul(A[i-1],inv[i]);b[0]=0;
	fp(i,len,lim-1)b[i]=0;
}
void Exp(int *a,int *b,int len){
	if(len==1)return b[0]=1,void();
	Exp(a,b,len>>1);static int A[N];
	Ln(b,A,len),init(len<<1);
	A[0]=dec(a[0]+1,A[0]);
	fp(i,1,len-1)A[i]=dec(a[i],A[i]);
	fp(i,len,lim-1)A[i]=b[i]=0;
	NTT(A,1),NTT(b,1);
	fp(i,0,lim-1)b[i]=mul(b[i],A[i]);
	NTT(b,-1);
	fp(i,len,lim-1)b[i]=0;
}
void Get(){
	static int A[N];
	fp(i,0,len-1)A[i]=mul(ksm(2,1ll*i*(i-1)>>1),ifac[i]);
	Ln(A,H,len);
	fp(i,0,len-2)H[i]=mul(H[i+1],i+1);H[len-1]=0;
	fp(i,0,len-1)A[i]=H[i];
	Ln(A,G,len);
	fp(i,0,len-2)G[i]=mul(G[i+1],i+1);G[len-1]=0;
	fp(i,0,len-1)A[i]=H[i];
	Ln(A,H,len);
}
int GetB(int n){
	static int A[N],B[N];
	len=1;while(len<=n)len<<=1;
	fp(i,0,len-1)A[i]=1ll*H[i]*(P-n)%P;
	Exp(A,B,len);init(len<<1);
	fp(i,0,len-1)A[i]=G[i];
	fp(i,len,lim-1)A[i]=B[i]=0;
	NTT(A,1),NTT(B,1);
	fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],B[i]);
	NTT(A,-1);
	return mul(A[n-1],inv[n]);
}
int GetA(int n){
	static int A[N];
	len=1;while(len<=n)len<<=1;
	fp(i,0,len-1)F[i]=mul(F[i],n);
	Exp(F,A,len);
	return 1ll*A[n-1]*inv[n]%P*fac[n-1]%P;
}
void Pre(){
	inv[0]=inv[1]=fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
	fp(i,2,len){
		fac[i]=mul(fac[i-1],i);
		inv[i]=mul(P-P/i,inv[P%i]);
		ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
	}
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read(),m=read();
	len=1;while(len<=n)len<<=1;
	Pre(),Get();
	while(m--)x=read()-1,F[x]=GetB(x);
	printf("%d\n",GetA(n));
	return 0;
}