Schur 三角化定理的推论

将学习到什么

从 Schur 的酉三角化定理可以收获一批结果，在这一部分介绍重要的几个.

迹与行列式

相似矩阵具有相同的特征多项式, 从特征多项式一节中, 我们又知道，相似矩阵的迹以及行列式都是相同的，且分别用所有特征值的和与积表示，所以对于矩阵 $A\in M_n$, $\mathrm{tr}\,A$ 和 $\mathrm{det}\,A$ 都可以用任何与 $A$ 相似矩阵来计算，酉三角化中的上三角矩阵 $T$ 的主对角线元素就是矩阵 $A$ 的特征值，所以计算非常方便。

$A$ 的多项式的特征值

假设 $A\in M_n$ 有特征值 $\lambda_1,\cdots\,\lambda_n$, 并设 $p(t)$ 是一个给定的多项式，从特征值的特征向量的定理 1.1 知：对每一个 $i=1,\cdots,n$, $p(\lambda_i)$ 都是 $p(A)$ 的特征值，又如果 $\mu$ 是 $p(A)$ 的特征值，那么就存在某个 $i\in \{1,\cdots,n\}$, 使得 $\mu=p(\lambda_i)$. 这些结论给出了 $p(A)$ 的特征值，但没有给出它们的重数，Schur 定理揭示出它们的重数.

设 $A=UTU^*$, 其中 $U$ 是酉矩阵，而 $T=[t_{ij}]$ 是上三角矩阵，其主对角元素是 $t_{11}=\lambda_1,t_{22}=\lambda_2,\cdots,t_{nn}=\lambda_n$. 这样就有 $p(A)=p(UTU^*)=Up(T)U^*$, $p(T)$ 的主对角元素是 $p(\lambda_1),p(\lambda_2),\cdots,p(\lambda_n)$, 故而由矩阵 $T$ 的对角元素算出 $p(T)$ 的特征值重数. 特别地，对每个 $k=1,\cdots$, 矩阵 $A^k$ 的特征值是 $\lambda_1^k,\cdots,\lambda_n^k$, 且
\begin{align}
\mathrm{tr}\, A^k=\lambda_1^k+\cdots+\lambda_n^k
\end{align}
假设 $A\in M_n$, 如果对某个正整数 $k$ 有 $A^k=0$, 那么 $\sigma(A)=\{0\}$, 所以 $A$ 的特征多项式是 $p_A(t)=t^n$, 其逆命题也成立，即如果 $\sigma(A)=\{0\}$, 那么存在一个酉矩阵 $U$ 以及一个严格上三角矩阵 $T$, 使得 $A=UTU^*$, 于是如下结论等价：$A$ 是幂零的$\Leftrightarrow A^n=0 \Leftrightarrow \sigma(A)=\{0\}$.

Cayley-Hamilton 定理

这个定理是说：设 $p_A(t)$ 是 $A$ 的特征多项式，那么 $p_A(A)=0$.
通过多项式分解和酉相似，利用归纳法可以证明. 这个定理常常被解释成每个方阵都满足它自己的特征方程，不过这需要仔细加以理解：纯量多项式 $p_A(t)$ 首先是作为 $p_A(t)=\mathrm{det}\, (tI-A)$ 计算的，然后才是通过代换 $t \rightarrow A$ 来计算矩阵 $p_A(A)$.
Cayley-Hamilton 定理的一项重要用途是将 $A\in M_n$ 的幂 $A^k$ （对 $k \geqslant n$）写成 $I,A,A^2,\cdots,A^{n-1}$ 的线性组合. 比如 $A=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$. 那么 $p_A(t)=t^2-3t+2$, 所以 $A^2-3A+2I=0$, 从而 $A^2=3A-2I$,$A^3=(3A-2I)A=3A^2-2A=3(3A-2I)-2A=7A-6I$, 类似可计算 $A^4,A^5,\cdots$ 等等. 还可以将非奇异矩阵 $A$ 的负次数幂表示成 $A$ 与 $I$ 的线性组合，将 $A^2-3A+2I=0$ 写成 $I=A\Big[ \dfrac 12 (-A+3I) \Big]$, 从而 $A^{-1}=-\dfrac 12 A+\dfrac 32 I$,同样可写出 $A^{-2},A^{-3}$ 等等.

关于线性矩阵方程的 Sylvester 定理

与交换性有关的方程 $AX-XA=0$ 是线性矩阵方程 $AX-XB=C$ 的一个特例，通常称为Sylvester 方程.

这个定理不证明了，要了解定理中的那个充分必要条件.

Schur 三角化定理中的唯一性

对给定和 $A \in M_n$，酉三角化中定理 1.1 描述的那种可以通过酉相似得到的上三角型 $T$ 不一定是唯一的. 也就是说，有相同主对角线的不同的上三角矩阵可能是酉相似的.
如果 $T,T' \in M_n$ 是上三角的，且有相同的主对角线，主对角线上相同的元素归并在一起，关于使得 $T'=WTW^*$ （也就是 $WT=T'W$）成立的酉矩阵 $W \in M_n$, 有什么特点？下面的定理说的是：$W$ 必定是分块对角的，而且在关于 $T$ 的超对角元素的某种假设之下，$W$ 必定是对角矩阵，甚至是一个纯量矩阵，在后一种情形有 $T=T'$.

每一个方阵都可以分块对角化

证明： 将 $T$ 分划成
\begin{align}
T=\begin{bmatrix} T_{11} & Y \\ 0 & S_2 \end{bmatrix} \notag
\end{align}
其中 $S_2=[T_{ij}]_{i,j=2}^d$. 注意 $T_{11}$ 的仅有的特征值是 $\lambda_1$, 而 $S_2$ 的特征值是 $\lambda_2,\cdots,\lambda_n$. Sylvester 定理保证了方程 $T_{11}X-XS=-Y$ 有一个解 $X$，用它来构造
\begin{align}
M=\begin{bmatrix} I_{n_1} & X \\ 0 & I \end{bmatrix} \qquad \text{以及其逆} \qquad M^{-1}=\begin{bmatrix} I_{n_1} & -X \\ 0 & I \end{bmatrix}\notag
\end{align}
那么
\begin{align}
M^{-1}TM=\begin{bmatrix} I_{n_1} & -X \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_{11} & Y \\ 0 & S_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_{n_1} & X \\ 0 & I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} T_{11} & T_{11}X-XS_2+Y \\ 0 & S_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} T_{11} & 0 \\ 0 & S_2 \end{bmatrix} \notag
\end{align}
如果 $d=2$, 这就是所要的分块对角化. 如果 $d>2$, 重复这一化简过程来证明 $S_2$ 与 $T_{22}\oplus S_3$ 相似，其中 $S_3=[T_{ij}]_{i,j=3}^d$. 经过 $d-1$ 次化简，我们就得知 $T$ 相似于 $T_{11}\oplus \cdots\oplus T_{dd}$.
如果 $A$ 是实的且有实特征值，那么它与一个刚刚考虑过的实的分块上三角矩阵实正交相似，每一步的化简都可以用实相似来实现.

秩 1 摄动的特征值

证明： 设 $\xi = x/ \lVert x \rVert _2$, 并令 $U=[\xi \quad u_2 \quad \cdots \quad u_n]$ 是酉矩阵. 那么由 Schur 定理知
\begin{align}
U^*AU=\begin{bmatrix} \lambda & \bigstar \\ 0 & A_1 \end{bmatrix} \notag
\end{align}
其中 $A_1 \in M_{n-1}$ 有特征值 $\lambda_2,\cdots,\lambda_n$. 又有
\begin{align}
U^*xv^*U=\begin{bmatrix} \xi^*x \\ u_2^*x \\ \vdots \\ u_n^*x \end{bmatrix} v^* U = \begin{bmatrix} \lVert x \rVert _2 \\0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v^*\xi & v^*u_2 & \cdots & v^*u_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lVert x \rVert _2 v^*\xi & \bigstar \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v^*x & \bigstar \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \notag
\end{align}
这样一来，
\begin{align}
U^*(A+xv^*)U= \begin{bmatrix}\lambda+ v^*x & \bigstar \\ 0 & A_1 \end{bmatrix} \notag
\end{align}
就有特征值 $\lambda+v^*x,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$.

应该知道什么

酉三角化对于求矩阵的迹与行列式是方便的
$A$ 的多项式的特征值可以通过酉相似容易辨别出来
每个方阵都满足它自己的特征方程
每一个方阵都可以分块对角化
秩 1 摄动的特征值