BZOJ 3181([Coci2012]BROJ-最小质因子为p的第k小素数)
3181: [Coci2012]BROJ
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Description
求最小质因子等于p的第n小的正整数(恰好有n-1个最小质因子等于p且比它
小的正整数)。p一定是质数。若答案超过10^9则输出0。
Input
Output
Sample Input
Sample Output
HINT
1 <= n, p <= 10^9
Source
当n≥29时,枚举p的倍数,暴力可过。
当n<29时:暴力枚举不可过
开始找规律---发现循环节
设C为≤p的素数之积
经过cwj的证明:
若P<29,可以直接计算,设C为<=P的质数的积,由于P不大,C只是百万级的,硬统计C内有多少个符合要求,设符合要求的个数为c,则答案为((N-1)/c)*C+a[(N-1)%c+1],其中a[i]为第i个符合要求的数,现证明其正确性。
我们认为,若i合法,则C+i合法。
现反设C+i非法,则存在p<P满足p|C+i,因为C为<=P的质数的积,所以p|C,所以p|i,与假设矛盾,得证。
若i合法,则i%c必然合法。故i=a[k]+t*C (t>0)
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<cassert>
#include<climits>
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
#define Forp(x) for(int p=pre[x];p;p=next[p])
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define MEMI(a) memset(a,127,sizeof(a))
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a))
#define INF (2139062143)
#define F (1000000009)
#define MAXN (1000000000)
#define MAXP (5000000)
typedef long long ll;
ll n,p;
int a[300]={0},size=0;
bool b[300]={0};
void make_prime(int n)
{
size=0;
b[1]=1;
Fork(i,2,n)
{
if (!b[i]) a[++size]=i;
For(j,size)
{
if (i*a[j]>n) break;
b[i*a[j]]=1;
if (i%a[j]==0) break;
}
}
}
int ans[10000000],tot=0;
int main()
{
// freopen("bzoj3181.in","r",stdin);
while (cin>>n>>p)
{
if (n==1) {cout<<p<<endl;continue;}
if (p>sqrt(MAXN)) {cout<<'0'<<endl;continue;}
if (p>=29)
{
int k=1;
for(int i=2*p;i<=MAXN;i+=p)
{
bool bo=0;
Fork(j,2,p-1)
if (i%j==0) {bo=1;break;}
if (!bo) k++;
if (k==n) {cout<<i<<endl;break;}
}
if (k<n) puts("0");
}
else
{
make_prime(p);
ll C=1;
For(i,size) C*=a[i];//,cout<<C<<endl;
tot=0;
for(ll i=p;i<=C&&i<=MAXN;i+=p)
{
bool bo=0;
For(j,size)
{
if (i%a[j]==0&&a[j]<p) {bo=1;break;}
}
if (!bo) ans[++tot]=i;
}
//if (n<=tot) cout<<ans[n]<<endl;
// if (tot==0) {puts("0");return 0;}
ll ans2=(ll)(n-1)/tot*C+ans[(n-1)%tot+1];
if (ans2>MAXN) puts("0");
else cout<<ans2<<endl;
}
// return 0; }
return 0;
}
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