【loj6191】「美团 CodeM 复赛」配对游戏

题目

显然期望dp。

简单想法：

f[i][j]表示前i个人中向右看并且没有被消除的人数的概率

如果第i+1个人是向右，$f[i+1][j+1]=f[i][j]/2$

如果第i+1个人是向左，$f[i+1][j-1]=f[i][j]/2$

最后期望总和是$\sum_{i=0}^{n} i*f[n][i]$

转移没有问题，但容易发现这样算出来的期望剩余人数没有算上向左看的。

什么意思呢？我们都知道期望=数量（人数）*概率，但这里dp只设了向右看的人数状态，虽然也包括了所有向左看的情况，但最后算期望的时候，每种向右看的人数情况的概率所乘的人数 只有向右看的而没有向左看的，这样就忽略了最终剩下的向左看的人数对期望的影响。

比如当j=0，也就是向右看的人数为0时，期望=向右看人数*概率=0*概率=0，但很明显这种情况下向左看的人数还有很多种情况，它们的人数并没有被算上。

但稍微一观察就会发现，向右看和向左看的情况好像是一样的，因此最终期望就等于之前算出的期望总和*2。

这又是什么意思？要把向左看的人算上，还得设个g[i][j]表示前i个人中向左看并且没有被消除的人数的概率，然后转移和期望求和方法与向右看的相同，只是这样的话期望剩余人数就只算上了向左看的而没算上向右看的。

那么期望和就是$\sum_{i=0}^{n} i*(f[n][i]+g[n][i])$

也就是说要证明f[n][i]=g[n][i]，才能证明向右看的答案*2是正确的。

我们知道，最后剩下的人一定是前一段向左看，后一段向右看，比如<<<>>>>。中间被消掉的一定都是有相对关系的。

那把剩下的人的序列完全对称，得到这个对称序列的概率和对称前是相等的。

就上面那个例子，对称后就得到了<<<<>>>，与原序列<<<>>>>的出现概率相等，只是把向右看的都改为放向左看的，反之亦然而已。数学化地讲：两序列dp形式分别是$f[n][4]$和$g[n][4]$，而两个式子的转移方法相同，所以是等价的。

而每种向右看的情况都对应一种向左看的情况（只要对称就得到了这样一种合法情况），前者向右看的人数和后者向左看的人数相等，即$f[n][i]=g[n][i] | 0\leq i \leq n$。得证。

所以答案为$(\sum_{i=0}^{n} i*f[n][i])*2$

如果没发现对称性，可以直接设期望，比如这篇博客。也可以自行百度其他 dp设期望 的方式。

代码过短不放了