poj - 3254 - Corn Fields (状态压缩)
poj - 3254 - Corn Fields (状态压缩)超详细
参考了 @外出散步 的博客,在此基础上增加了说明
题意:
农夫有一块地,被划分为m行n列大小相等的格子,其中一些格子是可以放牧的(用1标记),农夫可以在这些格子里放牛,其他格子则不能放牛(用0标记),并且要求不可以使相邻格子都有牛。现在输入数据给出这块地的大小及可否放牧的情况,求该农夫有多少种放牧方案可以选择(注意:任何格子都不放也是一种选择,不要忘记考虑!
思路:
在样例中是一个2×3的表格,我们可以用数字的二进制来枚举每一种情况
在样例中第一行是没有障碍物的,全部可以放牛,那么我们可以用二进制表示(1代表放牛,0代表不放牛),如图:
编号 | 十进制 | |||
---|---|---|---|---|
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0 | 0 | 1 | 1 |
3 | 0 | 1 | 0 | 2 |
4 | 1 | 0 | 0 | 4 |
5 | 1 | 0 | 1 | 5 |
这种用一个数来表示一组数,以降低表示状态所需的维数的解题手段,就叫做状态压缩。
这5个数字的二进制来代表,这就是第一行所有的可能,可以拓展到更多
对于第二行,只有两种
编号 | 十进制 | |||
---|---|---|---|---|
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | 0 | 1 | 0 | 2 |
当图二是1号情况时,图一可以选择全部,合计5种。
当图二是2号情况时,图一可以选择1,2,4,5号,合计4种,总共9种。
那么重点来了
我们用一个连续数组state[i]
表示图一图二的情况,也就是
state[1]=0
state[2]=1
state[3]=2
state[4]=4
state[5]=5
1、上限是什么呢,假设有n列,那么上限就是$2^n$,很好理解,每个位置可以放0和1,一共n个位置
2、怎么排除没有用的呢,即障碍物,例如3就不在数组里,我们用与
运算(运算规则:0&0=0;0&1=0;1&0=0;1&1=1;),假设当前是数字x,如果(x & x << 1 )成立,说明相邻两个格子都为1,则该状态不可行
现在我们有了可以用来比较的state数组,但是这是建立在没有障碍物的基础上的,我们再去除障碍物影响
首先我们需要记录障碍物位置用数组cur[i]
,表示第i行的障碍物(表示方法与上图表示一样)
3、去除障碍物影响,枚举state数组,与cur数组进行与
运算,(state & cur)如果成立说明有重合,不再进行判断
剩下的工作就是开始计算结果了
状态转移方程
dp[i][k] = $\sum_{j=1}^{n}$dp[i-1][j]
i代表行数,k的大小等于state数组的长度,是一个循环,j与k是一样的
首先计算出第一行的结果,因为第一行只有地形的限制,没有其他行的限制,第一行要单独计算,剩下的是一个暴力循环
具体看代码
代码:
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define mod 100000000
int M, N, top = 0;
//top表示每行最多的状态数
int state[600], num[110];
//state存放每行所有的可行状态(即没有相邻的状态
//
int dp[20][600];
//dp[i][j]:对于前i行数据,每行有前j种可能状态时的解
int cur[20];
//cur[i]表示的是第i行整行的情况
inline bool ok(int x) { //判断状态x是否可行
if (x & x << 1) return false;//若存在相邻两个格子都为1,则该状态不可行
return true;
}
void init() { //遍历所有可能的状态
top = 0;
int total = 1 << N; //遍历状态的上界 左移运算
for (int i = 0; i < total; ++i) {
if (ok(i)) state[++top] = i;//可以排除左右相邻的情况
}
}
inline bool fit(int x, int k) { //判断状态x 与第k行的实际状态的逆是否有‘重合’
if (x & cur[k])return false; //若有重合,(即x不符合要求)
return true; //若没有,则可行
}
int main() {
while (scanf("%d%d", &M, &N) != EOF) {
init();
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int i = 1; i <= M; ++i) {
cur[i] = 0;
int num;
for (int j = 1; j <= N; ++j) { //输入时就要按位来存储,cur[i]表示的是第i行整行的情况,每次改变该数字的二进制表示的一位
scanf("%d", &num); //表示第i行第j列的情况(0或1)
if (num == 0) //若该格为0
cur[i] += (1 << (N - j)); //则将该位置为1(注意要以相反方式存储,即1表示不可放牧
}
}
for (int i = 1; i <= top; i++) {
if (fit(state[i], 1)) { //判断所有可能状态与第一行的实际状态的逆是否有重合
dp[1][i] = 1; //若第1行的状态与第i种可行状态吻合,则dp[1][i]记为1
}
}
/*
状态转移过程中,dp[i][k] =Sigma dp[i-1][j] (j为符合条件的所有状态)
*/
for (int i = 2; i <= M; ++i) { //i索引第2行到第M行
for (int k = 1; k <= top; ++k) { //该循环针对所有可能的状态,找出一组与第i行相符的state[k]
if (!fit(state[k], i)) //*****首先筛选与地形没有冲突的state
continue; //判断是否符合第i行实际情况 判断障碍与选择是否有冲突
for (int j = 1; j <= top; ++j) { //找到state[k]后,再找一组与第i-1行符合,且与第i行(state[])不冲突的状态state[j]
if (!fit(state[j], i - 1))//*****然后筛选与上一行没有冲突的state
continue; //判断是否符合第i-1行实际情况
if (state[k] & state[j]) // *****找到两者之后判断两者有没有冲突
continue; //判断是否与第i行冲突
dp[i][k] = (dp[i][k] + dp[i - 1][j]) % mod; //若以上皆可通过,则将'j'累加到‘k'上
}
}
}
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= top; ++i) { //累加最后一行所有可能状态的值,即得最终结果。
ans = (ans + dp[M][i]) % mod;
}
printf("%d\n", ans);
}
}
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