洛谷——P3919 【模板】可持久化数组（可持久化线段树/平衡树）

P3919 【模板】可持久化数组（可持久化线段树/平衡树）

题目背景

UPDATE : 最后一个点时间空间已经放大

标题即题意

有了可持久化数组，便可以实现很多衍生的可持久化功能（例如：可持久化并查集）

题目描述

如题，你需要维护这样的一个长度为 $N$ 的数组，支持如下几种操作

1. 在某个历史版本上修改某一个位置上的值

2. 访问某个历史版本上的某一位置的值

此外，每进行一次操作（对于操作2，即为生成一个完全一样的版本，不作任何改动），就会生成一个新的版本。版本编号即为当前操作的编号（从1开始编号，版本0表示初始状态数组）

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行包含两个正整数 $N$,$M$， 分别表示数组的长度和操作的个数。

第二行包含NN个整数，依次为初始状态下数组各位的值（依次为 $a_i$，$1 \leq i \leq N$）。

接下来MM行每行包含3或4个整数，代表两种操作之一（ii为基于的历史版本号）：

1. 对于操作1，格式为$v_i \ 1 \ {loc}_i \ {value}_i$​，即为在版本$v_i$的基础上，将 $a_{{loc}_i}$​​ 修改为 ${value}_i$​

2. 对于操作2，格式为$v_i \ 2 \ {loc}_i$，即访问版本$v_i$中的 $a_{{loc}_i}$的值

输出格式：

输出包含若干行，依次为每个操作2的结果。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 10
59 46 14 87 41
0 2 1
0 1 1 14
0 1 1 57
0 1 1 88
4 2 4
0 2 5
0 2 4
4 2 1
2 2 2
1 1 5 91

输出样例#1： 复制

59
87
41
87
88
46

说明

数据规模：

对于30%的数据：$1 \leq N$, $M \leq {10}^3$

对于50%的数据：$1 \leq N$, $M \leq {10}^4$

对于70%的数据：$1 \leq N$, $M \leq {10}^5$

对于100%的数据：$1 \leq N$, $M \leq {10}^6$, $1 \leq {loc}_i$ $\leq N$, $0 \leq v_i < i$, $-{10}^9 \leq a_i$, ${value}_i \leq {10}^9$

经测试，正常常数的可持久化数组可以通过，请各位放心

数据略微凶残，请注意常数不要过大

另，此题I/O量较大，如果实在TLE请注意I/O优化

询问生成的版本是指你访问的那个版本的复制

样例说明：

一共11个版本，编号从0-10，依次为：

* 0 : 59 46 14 87 41

* 1 : 59 46 14 87 41

* 2 : 14 46 14 87 41

* 3 : 57 46 14 87 41

* 4 : 88 46 14 87 41

* 5 : 88 46 14 87 41

* 6 : 59 46 14 87 41

* 7 : 59 46 14 87 41

* 8 : 88 46 14 87 41

* 9 : 14 46 14 87 41

* 10 : 59 46 14 87 91

~\(≧▽≦)/~啦啦啦

身为蒟蒻的我终于入门了可持久化线段树的冰山一角，开森

可持久化线段树总结（可持久化线段树，线段树）

%%FlashHu%%，可以直接转到这位大佬的博客学习

大佬可直接转主席树乱讲

刚入门的蒟蒻对此的理解：

可持久化线段树，支持访问历史版本，修改历史版本，emmmmm

显然，你对于每一次版本都新建一颗线段树，会TLE，更会MLE，这种方法行不通

观察发现，当你修改一个历史版本时，即创建一个新版本，当前版本相对于历史版本改变的仅仅是那个点所影响的那条链，

emmmmm貌似就这么多了

$get$到新技能，非递归版线段树

IL void insert(int *T,int u,int l,int r,int k){
//T当前节点指针，u原版本对应节点，区间端点，所要修改位置
    while(l!=r){
        int mid=(l+r)>>;
        *T=++tot;//新增节点，分配空间
        if(k<=mid) r=mid,rc[*T]=rc[u],T=&lc[*T],u=lc[u];//如果所要修改的节点在区间中点mid左侧，说明右侧线段树没有改变，T，u更新为当前左子树，右子树连接到历史版本好了，继续
        else l=mid+,lc[*T]=lc[u],T=&rc[*T],u=rc[u];//上同
    }
    in(val[*T=++tot]);
}

奉上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>

#define N 10000000
#define IL inline
using namespace std;

IL void in(int &x){
    register char c=getchar();x=;int f=;
    for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*+c-'';
    x*=f;
}

int rt[N],lc[N],rc[N],tot,val[N];

IL void build(int &RT,int l,int r){
    RT=++tot;
    if(l==r) {in(val[tot]);return;}
    int mid=(l+r)>>;
    build(lc[RT],l,mid);
    build(rc[RT],mid+,r);
}
IL void insert(int *T,int u,int l,int r,int k){
    while(l!=r){
        int mid=(l+r)>>;
        *T=++tot;
        if(k<=mid) r=mid,rc[*T]=rc[u],T=&lc[*T],u=lc[u];
        else l=mid+,lc[*T]=lc[u],T=&rc[*T],u=rc[u];
    }
    in(val[*T=++tot]);
}
IL int ask(int t,int l,int r,int k){
    while(l!=r){
        int m=(l+r)>>;
        if(k<=m) r=m,t=lc[t];
        else l=m+,t=rc[t];
    }
    return val[t];
}

int n,m;

int main()
{
    in(n),in(m);
    build(rt[],,n);
    for(int opt,v,loc,i=;i<=m;i++){
        in(v),in(opt),in(loc);
        if(opt&) insert(&rt[i],rt[v],,n,loc);
        else{
            printf("%d\n",ask(rt[v],,n,loc));
            rt[i]=++tot;
            lc[tot]=lc[rt[v]];
            rc[tot]=rc[rt[v]];
        }
    }

    return ;
}

emmm，来一发递归版的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

#define N 100000000
using namespace std;

int rt[N],P,lc[N],rc[N],val[N];

void build(int &R,int l,int r){
    R=++P;
    if(l==r) {scanf("%d",&val[P]);return;}
    int mid=(l+r)>>;
    build(lc[R],l,mid);
    build(rc[R],mid+,r);
}

void insert(int *T,int u,int l,int r,int k){
    *T=++P;
    if(l==r) {scanf("%d",&val[*T]);return;}
    int mid=(l+r)>>;
    if(k<=mid) rc[*T]=rc[u],insert(&lc[*T],lc[u],l,mid,k);
    else lc[*T]=lc[u],insert(&rc[*T],rc[u],mid+,r,k);
}

int ask(int t,int l,int r,int k){
    int mid=(l+r)>>;
    if(l==r) return val[t];
    if(k<=mid) return ask(lc[t],l,mid,k);
    else return ask(rc[t],mid+,r,k);
}

int n,m;

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    build(rt[],,n);
    for(int opt,v,loc,i=;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&v,&opt,&loc);
        if(opt==) insert(&rt[i],rt[v],,n,loc);
        else printf("%d\n",ask(rt[v],,n,loc)),rt[i]=++P,lc[rt[i]]=lc[rt[v]],rc[rt[i]]=rc[rt[v]];
    }

    return ;
}

主席树入门

以上是主席树单点修改+单点查询的模板。

主席树才A了这一道题，太弱了吧，垃圾（我）

SP11470 TTM - To the moon

在大佬博客发现的一道题（额，又是一道模板题）

主席树区间修改+区间查询模板

主要是理解线段树标记永久化的思想 线段树标记永久化 <-可以转这位大佬的博客学习

线段树标记永久化，当你所要修改的区间包含于当前区间时，就说明所要修改区间对当前区间产生了贡献，那么当前区间直接加上这个贡献即可，只有当当前区间完全符合修改区间时，

就下方标记（不，其实是添加标记，因为不需要$pushup$），这就是区间修改

IL void Modify(int &t,int u,int l,int r,int v){
    t=++tot;//添加新节点
    lc[t]=lc[u],rc[t]=rc[u],cov[t]=cov[u],sum[t]=sum[u];//更新新节点
    sum[t]+=v*(qr-ql+);//对此区间产生贡献，此区间直接加上此贡献
    if(ql==l&&qr==r) {cov[t]+=v;return;}
    int mid=(l+r)>>;
    if(qr<=mid) Modify(lc[t],lc[u],l,mid,v);
    else if(ql>mid) Modify(rc[t],rc[u],mid+,r,v);
    else Modify(lc[t],lc[u],l,mid,ql,mid),Modify(rc[t],rc[u],mid+,r,mid+,qr);
    //若所修改区间qr在mid左侧，直接转到左子树，
    //若所修改区间ql在mid右侧，直接转到右子树，
    //反之，同时转向左右子树
}

接下来考虑区间查询，由上到下，累加标记，若当前区间有标记，那么对查询区间肯定有影响，要累加这个标记，

最后在加上所查询区间的$sum$值即可。

LL query(LL t,LL l,LL r,LL ql,LL qr){
    if(l==ql&&r==qr) return sum[t];
    int mid=(l+r)>>;
    LL res=cov[t]*(qr-ql+);
    if(qr<=mid) res+=query(lc[t],l,mid,ql,qr);
    else if(ql>mid) res+=query(rc[t],mid+,r,ql,qr);
    else res+=query(lc[t],l,mid,ql,mid),res+=query(rc[t],mid+,r,mid+,qr);
    return res;
}

完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>

#define N 10000000
#define IL inline
#define LL long long
using namespace std;
void in(LL &x){
    register char c=getchar();x=;LL f=;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*+c-'';c=getchar();}
    x*=f;
}

LL rt[N],lc[N],rc[N],tot,sum[N],cov[N];

IL void build(LL &t,LL l,LL r){
    t=++tot;
    if(l==r){in(sum[t]);return;}
    LL m=(l+r)>>;
    build(lc[t],l,m);
    build(rc[t],m+,r);
    sum[t]+=sum[lc[t]]+sum[rc[t]];
}
IL void Modify(LL &t,LL u,LL l,LL r,LL ql,LL qr,LL v){
    t=++tot;
    lc[t]=lc[u],rc[t]=rc[u],cov[t]=cov[u],sum[t]=sum[u];
    sum[t]+=v*(qr-ql+);
    if(ql==l&&qr==r) {cov[t]+=v;return;}
    LL mid=(l+r)>>;
    if(qr<=mid) Modify(lc[t],lc[u],l,mid,ql,qr,v);
    else if(ql>mid) Modify(rc[t],rc[u],mid+,r,ql,qr,v);
    else Modify(lc[t],lc[u],l,mid,ql,mid,v),Modify(rc[t],rc[u],mid+,r,mid+,qr,v);
}
LL query(LL t,LL l,LL r,LL ql,LL qr){
    if(l==ql&&r==qr) return sum[t];
    int mid=(l+r)>>;
    LL res=cov[t]*(qr-ql+);
    if(qr<=mid) res+=query(lc[t],l,mid,ql,qr);
    else if(ql>mid) res+=query(rc[t],mid+,r,ql,qr);
    else res+=query(lc[t],l,mid,ql,mid),res+=query(rc[t],mid+,r,mid+,qr);
    return res;
}

LL n,m;

int main()
{
    in(n),in(m);
    build(rt[],,n);
    LL T=;
    for(LL l,r,d,i=;i<=m;i++){
        char x;
        cin>>x;
        if(x=='B'){
            in(d);
            T=d;
            tot=rt[T+]-;//回收空间
        }else{
            in(l),in(r);
            if(x=='C') in(d),++T,Modify(rt[T],rt[T-],,n,l,r,d);
            if(x=='Q') printf("%lld\n",query(rt[T],,n,l,r));
            if(x=='H') in(d),printf("%lld\n",query(rt[d],,n,l,r));
        }
    }

    return ;
}

只会抄题解，抄完之后还镇定自若地跟你们瞎$BB$地蒟蒻。qwq。。。

主席树总结（经典区间第k小问题）（主席树，线段树）(下一道模板题)

关于主席树的入门，讲解和题单