【题解】 AtCoder ARC 076 F - Exhausted? （霍尔定理+线段树）

题面

题目大意:

给你\(m\)张椅子，排成一行，告诉你\(n\)个人，每个人可以坐的座位为\([1,l]\bigcup[r,m]\)，为了让所有人坐下，问至少还要加多少张椅子。

Solution:

• 为什么加椅子？我们可以在最左边或最右边一直加直到人人都有座位。
• 首先这道题目抽象成二分图很简单，然后我们可以只要求解出人与座位的最大匹配是多少，总人数减去即可，但跑二分图最大匹配显然会超时，我们就可以往霍尔定理方面想。
• 然后你还需要知道一个霍尔定理推论：假设某个人的集合为\(X\)，这个集合所对应的椅子的集合为\(Y\)，如果\(|X|\leq|Y|\)，则具有完美匹配，如果\(|X|\geq|Y|\)，则\(X\)至少要删去\(|X|-|Y|\)个元素，才能有完备匹配，我们定义\(\Gamma(X)=|X|-|Y|\)。

在这题里，这个就是至少需要添加的椅子数目，所以我们要找出最大的\(\Gamma(X)\)

• 接下来我们就来分析怎么找出最大的\(\Gamma(X)\)，因为\(X\)不具有任何性质，不好下手，我们考虑\(Y\)有啥特点，他一定是\([1,l]\bigcup[r,m]\)，然后我们可以通过这个\(Y\)确定\(|X|\)，所以会有一下做法

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法一：暴力枚举

• 暴力枚举\(l,r\)，椅子的个数为\(l+m-r+1\)，通过上面的定理处理出答案，找出\(\Gamma\)最大值。时间复杂度：\(O(n^2)\)貌似会更高到三方

法二：与其说是法二不如说是法一优化

• 我们考虑上面的算法哪一些地方是冗余的。假设我们枚举出\(l\)，根据法一，我们会枚举出所有的\(r\)，显然不用枚举所有的，实际上只有找出这个\(l\)对应后面的\(r\)算出来的最大值，如何快速查询出最大值，我们考虑使用线段树。
• 具体如何优化这个问题：计算式子是人数\(-(l+m-r+1)\)。
• 因为固定了\(l\)，我们可以确定现在最多有多少人，总人数与\(l'\)有关（\(l'<l\)）所以我们把\(l\)从小到大排序，把人数不断往线段树里面丢。
• 具体多少人根据\(r\)决定，某一个人要加入计算的人数内，必须是他所允许的所有椅子范围都在讨论范围内，比如这个\(l=l_i\)，那么\(0\leq r\leq r_i\)的人数都可以加一（因为我们此时\(l\)是固定的，保证了这个人\(l\)在范围内，如果枚举的\(r_j \leq r_i\)，那么这个人数是要在算\(l \rightarrow r_j\)时算进去的）。
• 如果上面你看懂了，那就很好办了，我们会发现对于枚举的\(r\)，式子中的人数\(-m-1+r\)是一样的，人数我们是在推进\(l\)同时加入线段树，\(-m-1+r\)我们就可以提前加入线段树（建树）
• 对于一种特殊的情况，比如说：\(l_i=1,r_i=1\)，那么他能放的范围为所有，所以我们要判断\(m-n\)为答案的情况
• 对于普通枚举\(l\)，我们没必要考虑全部集合情况，所以我们就只用在线段树\(l+2\rightarrow m+1\)找出最大值减去\(l\)，得到的答案与\(ans\)取\(max\)就\(ok\)啦

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• 下面我们来将乱搞做法，我们把人按\(l\)排序，枚举到人后把他可以座椅子的范围用线段树标记，然后算出总可以坐的椅子数与人数相比较，求出每次\(ans\)的\(max\)，一开始错两个点，然后排了两个序，算两次就只错一个点了。这个方法显然是不对哒！！因为显然有一些人的子集没有枚举到。

这道题好理解吧(毛线，我起码看了一个下午才看懂，去吃饭的路上突然懂了23333)

对了贪心也可以过这道题，只不过做法没这么优美罢了

Attention:

1. 线段树是从\(0\rightarrow m+1\)，因为人的\(l,r\)包含\(0,m+1\)
2. 特殊情况，\(|X|=n\)
3. 枚举出\(l\)后，找最大值一定是从\([l+1,m+1]\)中找

First, 你枚举的\(r\)要\(>l\)。

Second,\(|X|=n\)已经被考虑（没那个必要了，其实你从\(l+1\)开始也不影响）

Code:

//It is coded by ning_mew on 7.16
#include<bits/stdc++.h>
#define ls(x) (x*2)
#define rs(x) (x*2+1)
using namespace std;

const int maxn=2e5+7,inf=1e9+7;

int n,m,ans=0;
struct Opt{int l,r;}p[maxn];
struct Node{int lazy,maxx;}node[maxn*4];

bool cmp(const Opt &A,const Opt &B){return A.l<B.l;}
void pushdown(int num,int nl,int nr){
  if(!node[num].lazy)return;
  int lz=node[num].lazy; node[num].lazy=0;
  node[ls(num)].maxx+=lz;node[ls(num)].lazy+=lz;
  node[rs(num)].maxx+=lz;node[rs(num)].lazy+=lz;
}
void update(int num){node[num].maxx=max(node[ls(num)].maxx,node[rs(num)].maxx);}
void build(int num,int nl,int nr){
  node[num].lazy=0; if(nl==nr){node[num].maxx=nr-m-1;return;}
  int mid=(nl+nr)/2;
  build(ls(num),nl,mid);build(rs(num),mid+1,nr);
  update(num);
}
void add(int num,int nl,int nr,int ql,int qr,int ad){
  if(ql<=nl&&nr<=qr){node[num].maxx+=ad;node[num].lazy+=ad;return;}
  if(nr<ql||qr<nl)return;
  int mid=(nl+nr)/2;pushdown(num,nl,nr);
  add(ls(num),nl,mid,ql,qr,ad);add(rs(num),mid+1,nr,ql,qr,ad);
  update(num);return;
}
int quary(int num,int nl,int nr,int ql,int qr){
  if(ql<=nl&&nr<=qr)return node[num].maxx;
  if(nr<ql||qr<nl)return -inf;
  int mid=(nl+nr)/2;pushdown(num,nl,nr);
  return max(quary(ls(num),nl,mid,ql,qr),quary(rs(num),mid+1,nr,ql,qr));
}
int main(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].l,&p[i].r);
  sort(p+1,p+n+1,cmp);p[n+1].l=inf;
  build(1,0,m+1);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    add(1,0,m+1,0,p[i].r,1);
    if(p[i].l!=p[i+1].l&&p[i].l<=m-1)ans=max(ans,quary(1,0,m+1,p[i].l+2,m+1)-p[i].l);
  }ans=max(ans,n-m);printf("%d\n",ans);
  return 0;
}

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