数位dp/记忆化搜索

一、引例

#1033 : 交错和
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描述
给定一个数 x，设它十进制展从高位到低位上的数位依次是 a0, a1, ..., an - 1，定义交错和函数：

f(x) = a0 - a1 + a2 - ... + ( - 1)n - 1an - 1

例如：

f(3214567) = 3 - 2 + 1 - 4 + 5 - 6 + 7 = 4

给定 l, r, k，求在 [l, r] 区间中，所有 f(x) = k 的 x 的和，即：

1405402477702.png

输入
输入数据仅一行包含三个整数，l, r, k(0 ≤ l ≤ r ≤ 1018, |k| ≤ 100)。

输出
输出一行一个整数表示结果，考虑到答案可能很大，输出结果模 109 + 7。

提示
对于样例 ，满足条件的数有 110 和 121，所以结果是 231 = 110 + 121。

 /*
 ************************************交错和***********************************************
 ******************************by JA/C++ 2015-1-19****************************************
 */
 
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 long long mod = ;
 long long base[];
 long long l, r, k, bit[], bt, yy;
 struct node {
     long long s, n;//s代表数字和，n代表数字个数
 };
 node dp[][];//状态转移
 node dfs(long long pos, long long target, long long limit)//数位dp，基本可以算是模板啦
 {
     node t;
     t.s = t.n = ;
     if (pos == ) {               //处理到最后一位，直接判断返回
         if (target == )
             t.n = ;
         return t;
     }
     if ((limit == ) && (dp[pos][target].n != -)) return dp[pos][target];
     long long tail = limit ? bit[pos] : ;
     long long sgn = ((yy - pos) % ) ? (-) : ();//确定符号
     long long head;
     if (pos == yy)head = ;
     else head = ;//确定搜索的起点和终点
     for (long long  i= head; i <= tail; i++)
     {
         node tmp = dfs(pos - , target - i*sgn, (limit == ) && (i == bit[pos]));
         if ((tmp.n)>){
             t.n += tmp.n;
             long long q;
             q = ((((tmp.n%mod)*base[pos]) % mod)*i) % mod;//结果的同余处理
             t.s += (tmp.s) % mod;
             t.s %= mod;
             t.s += q;
             t.s %= mod;//每一步都要同余
         }
     }
     if (limit == ) dp[pos][target] = t;
     return t;
 }
 long long cal(long long x, long long y)
 {
     long long ans = ;
     if (x == -) return ;
     if (x == ) return ;
     bt = ;
     while (x)
     {
         bt++;
         bit[bt] = x % ;
         x /= ;
     }
     for (yy = ; yy <= bt; yy++){
         memset(dp, -, sizeof dp);
         ans += dfs(yy, y + , yy == bt).s;//对于每个长度为yy的数字进行处理
         ans = (ans + mod) % mod;
     }
     return ans;
 }
 int main()
 {
     base[] = ;
     for (int i = ; i <= ; i++)
         base[i] = (base[i - ] * ) % mod;
     scanf("%lld%lld%lld", &l, &r, &k);
     //scanf_s("%lld%lld%lld", &l, &r, &k);
     {
         printf("%lld", (cal(r, k) - cal(l - , k) + mod) % mod);
     }
     return ;
 }

二、思路分析

给定取值范围，要求区间内数的交错和为给定数，需要用到数位dp,记忆搜索以及同余定理。

1.记忆化搜索写的时候要将相同交错和的个数，相同交错和的数字和分别进行dp。

2.对于一位数字和两位数字的计算方式并不相同，要分数字的位数进行讨论。

3.由于结果可能比较大，每一步都需要使用同余定理。

三、数位dp模板

 const int MAX_DIGITS, MAX_STATUS;
 LL f[MAX_DIGITS][MAX_STATUS], bits[MAX_DIGITS];
 
 LL dfs(int position, int status, bool limit, bool first)
 {
   if (position == -)
     return s == target_status;
   if (!limit && !first && ~f[position][status])
     return f[position][status];
   int u = limit ? bits[position] : MAX_BITS;
   LL ret = ;
   for (int i = ; i <= u; i++)
   {
     ret += dfs(position - , next_status(status, i), limit && i == u, first && !i);
   }
   return limit || first ? ret : f[pos][status] = ret;
 }
 
 LL calc(LL n)
 {
   CLR(f, -);
   int len = ;
   while (n)
   {
     bits[len++] = n % ;
     n /= ;
   }
   return dfs(len - , , true, true);
 }
 
 int main()
 {
   //freopen("0.txt", "r", stdin);
   LL a, b;
   while (cin >> a >> b)
     cout << calc(b) - calc(a - ) << endl;
   return ;
 }

四、记忆化搜索

记忆化搜索=搜索的形式+动态规划的思想

参考文献

1.算法合集之《浅谈数位类统计问题》——刘聪

2.推酷《数位dp模板》