[问题2014A01] 解答一（第一列拆分法，由张钧瑞同学提供）

[问题2014A01] 解答一（第一列拆分法，由张钧瑞同学提供）

(1)  当 \(a=0\) 时，这是高代书复习题一第 33 题，可用升阶法和 Vander Monde 行列式来求解，其结果为

\[|A|=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)\Big(\sum_{i=1}^nx_1\cdots\hat{x}_i\cdots x_n\Big),\]

其中 \(\hat{x}_i\) 表示 \(x_i\) 不在其中.

(2)  当 \(a\neq 0\) 时，我们有

\[|A|=\frac{1}{a}\begin{vmatrix} a & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \\ a & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & \cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a & x_n(x_n-a) & x_n^2(x_n-a) & \cdots & x_n^{n-1}(x_n-a) \end{vmatrix}\]

\[=\frac{1}{a}\begin{vmatrix} x_1-(x_1-a) & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \\ x_2-(x_2-a) & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & \cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_n-(x_n-a) & x_n(x_n-a) & x_n^2(x_n-a) & \cdots & x_n^{n-1}(x_n-a) \end{vmatrix}.\]

按第一列拆分成两个行列式之差，有

\[|A|=\frac{1}{a}\begin{vmatrix} x_1 & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \\ x_2 & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & \cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_n & x_n(x_n-a) & x_n^2(x_n-a) & \cdots & x_n^{n-1}(x_n-a) \end{vmatrix}-\frac{1}{a}\begin{vmatrix} x_1-a & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & \cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \\ x_2-a & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & \cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_n-a & x_n(x_n-a) & x_n^2(x_n-a) & \cdots & x_n^{n-1}(x_n-a) \end{vmatrix}.\]

对于上面第一个行列式，将第一列乘以 \(a\) 加到第二列上；然后将第二列乘以 \(a\) 加到第三列上；\(\cdots\)；然后将第 \(n-1\) 列乘以 \(a\) 加到第 \(n\) 列上；最后将第 \(i\) 行提出公因子 \(x_i\)，可化为 Vander Monde 行列式. 对于上面第二个行列式，将第 \(i\) 行提出公因子 \(x_i-a\)，可化为 Vander Monde 行列式. 因此，我们有

\[|A|=\frac{1}{a}x_1\cdots x_n\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}\]

\[-\frac{1}{a}(x_1-a)\cdots(x_n-a)\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}\]

\[=\frac{1}{a}\Big(x_1\cdots x_n-(x_1-a)\cdots(x_n-a)\Big)\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i). \quad\Box\]

注  \(a\neq 0\) 时的结果，虽然表面上 \(a\) 出现在分母中 (只是为了看上去简洁)，但它其实是一个关于 \(a\) 的多项式 (展开后即知)，此时若令 \(a=0\)，马上可以得到 \(a=0\) 时的结果. 这说明 \(a\neq 0\) 时的结果和 \(a=0\) 时的结果可以统一起来. 为什么会发生这种情况呢？感兴趣的同学可以参考如下教学论文《文字行列式求值中的两个技巧》。