网络流－最大流问题 ISAP 算法解释（转自Renfei Song's Blog）

网络流－最大流问题 ISAP 算法解释

August 7, 2013 / 编程指南

ISAP 是图论求最大流的算法之一，它很好的平衡了运行时间和程序复杂度之间的关系，因此非常常用。

约定

我们使用邻接表来表示图，表示方法可以见文章带权最短路 Dijkstra, SPFA, Bellman-Ford, ASP, Floyd-Warshall 算法分析或二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法的开头（就不重复贴代码了）。在下文中，图的源点（source）表示为 s

，汇点（sink）表示为 t ，当前节点为 u 。建图时，需要建立双向边（设反向的边容量为 0

）才能保证算法正确。

引入

求解最大流问题的一个比较容易想到的方法就是，每次在残量网络（residual network）中任意寻找一条从 s

到 t 的路径，然后增广，直到不存在这样的路径为止。这就是一般增广路算法（labeling algorithm）。可以证明这种不加改进的贪婪算法是正确的。假设最大流是 f ，那么它的运行时间为O( f⋅∣E∣) 。但是，这个运行时间并不好，因为它和最大流 f

有关。

人们发现，如果每次都沿着残量网络中的最短增广路增广，则运行时间可以减为 O(∣E∣2⋅∣V∣)

。这就是最短增广路算法。而 ISAP 算法则是最短增广路算法的一个改进。其实，ISAP 的意思正是「改进的最短增广路」 (Improved Shortest Augmenting Path)。

顺便说一句，上面讨论的所有算法根本上都属于增广路方法（Ford-Fulkerson method）。和它对应的就是大名鼎鼎的预流推进方法（Preflow-push method）。其中最高标号预流推进算法（Highest-label preflow-push algorithm）的复杂度可以达到 O(∣V∣2∣E∣−−−√)

。虽然在复杂度上比增广路方法进步很多，但是预流推进算法复杂度的上界是比较紧的，因此有时差距并不会很大。

算法解释

概括地说，ISAP 算法就是不停地找最短增广路，找到之后增广；如果遇到死路就 retreat，直到发现s

, t不连通，算法结束。找最短路本质上就是无权最短路径问题，因此采用 BFS 的思想。具体来说，使用一个数组d，记录每个节点到汇点t的最短距离。搜索的时候，只沿着满足d[u]=d[v]+1的边u→v

（这样的边称为允许弧）走。显然，这样走出来的一定是最短路。

原图存在两种子图，一个是残量网络，一个是允许弧组成的图。残量网络保证可增广，允许弧保证最短路（时间界较优）。所以，在寻找增广路的过程中，一直是在残量网络中沿着允许弧寻找。因此，允许弧应该是属于残量网络的，而非原图的。换句话说，我们沿着允许弧，走的是残量网络（而非原图）中的最短路径。当我们找到沿着残量网络找到一条增广路，增广后，残量网络肯定会变化（至少少了一条边），因此决定允许弧的d

数组要进行相应的更新（顺便提一句，Dinic 的做法就是每次增广都重新计算d数组）。然而，ISAP 「改进」的地方之一就是，其实没有必要马上更新d

数组。这是因为，去掉一条边只可能令路径变得更长，而如果增广之前的残量网络存在另一条最短路，并且在增广后的残量网络中仍存在，那么这条路径毫无疑问是最短的。所以，ISAP 的做法是继续增广，直到遇到死路，才执行 retreat 操作。

说到这里，大家应该都猜到了，retreat 操作的主要任务就是更新d

数组。那么怎么更新呢？非常简单：假设是从节点u找遍了邻接边也没找到允许弧的；再设一变量m，令m等于残量网络中u的所有邻接点的d数组的最小值，然后令d[u]等于m+1即可。这是因为，进入 retreat 环节说明残量网络中u和 t已经不能通过（已过时）的允许弧相连，那么u和t实际上在残量网络中的最短路的长是多少呢？（这正是d的定义！）显然是残量网络中u的所有邻接点和t的距离加1的最小情况。特殊情况是，残量网络中u根本没有邻接点。如果是这样，只需要把d[u]设为一个比较大的数即可，这会导致任何点到u的边被排除到残量网络以外。（严格来说只要大于等于∣V∣即可。由于最短路一定是无环的，因此任意路径长最大是∣V∣−1）。修改之后，只需要把正在研究的节点u

沿着刚才走的路退一步，然后继续搜索即可。

讲到这里，ISAP 算法的框架内容就讲完了。对于代码本身，还有几个优化和实现的技巧需要说明。

1. 算法执行之前需要用 BFS 初始化d

数组，方法是从t到s

• 逆向进行。
• 算法主体需要维护一个「当前节点」u
• ，执行这个节点的前进、retreat 等操作。
• 记录路径的方法非常简单，声明一个数组p，令p[i]等于增广路上到达节点i的边的序号（这样就可以找到从哪个顶点到的顶点i
• ）。需要路径的时候反向追踪一下就可以了。
• 判断残量网络中s,t不连通的条件，就是d[s]≥∣V∣ 。这是因为当s,t不连通时，最终残量网络中s将没有任何邻接点，对s
• 的 retreat 将导致上面条件的成立。
• GAP 优化。GAP 优化可以提前结束程序，很多时候提速非常明显（高达 100 倍以上）。GAP 优化是说，进入 retreat 环节后，u,t之间的连通性消失，但如果u是最后一个和t距离d[u]（更新前）的点，说明此时s,t也不连通了。这是因为，虽然u,t已经不连通，但毕竟我们走的是最短路，其他点此时到t的距离一定大于d[u]（更新前），因此其他点要到t，必然要经过一个和t距离为d[u]
  1. （更新前）的点。GAP 优化的实现非常简单，用一个数组记录并在适当的时候判断、跳出循环就可以了。
  2. 另一个优化，就是用一个数组保存一个点已经尝试过了哪个邻接边。寻找增广的过程实际上类似于一个 BFS 过程，因此之前处理过的邻接边是不需要重新处理的（残量网络中的边只会越来越少）。具体实现方法直接看代码就可以，非常容易理解。需要注意的一点是，下次应该从上次处理到的邻接边继续处理，而非从上次处理到的邻接边的下一条开始。

  最后说一下增广过程。增广过程非常简单，寻找增广路成功（当前节点处理到t

  ）后，沿着你记录的路径走一遍，记录一路上的最小残量，然后从s到t

  更新流量即可。

  实现

  int source;         // 源点
  int sink;           // 汇点
  int p[max_nodes];   // 可增广路上的上一条弧的编号
  int num[max_nodes]; // 和 t 的最短距离等于 i 的节点数量
  int cur[max_nodes]; // 当前弧下标
  int d[max_nodes];   // 残量网络中节点 i 到汇点 t 的最短距离
  bool visited[max_nodes];
  
  // 预处理, 反向 BFS 构造 d 数组
  bool bfs()
  {
      memset(visited, 0, sizeof(visited));
      queue<int> Q;
      Q.push(sink);
      visited[sink] = 1;
      d[sink] = 0;
      while (!Q.empty()) {
          int u = Q.front();
          Q.pop();
          for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end(); ++ix) {
              Edge &e = edges[(*ix)^1];
              if (!visited[e.from] && e.capacity > e.flow) {
                  visited[e.from] = true;
                  d[e.from] = d[u] + 1;
                  Q.push(e.from);
              }
          }
      }
      return visited[source];
  }
  
  // 增广
  int augment()
  {
      int u = sink, df = __inf;
      // 从汇点到源点通过 p 追踪增广路径, df 为一路上最小的残量
      while (u != source) {
          Edge &e = edges[p[u]];
          df = min(df, e.capacity - e.flow);
          u = edges[p[u]].from;
      }
      u = sink;
      // 从汇点到源点更新流量
      while (u != source) {
          edges[p[u]].flow += df;
          edges[p[u]^1].flow -= df;
          u = edges[p[u]].from;
      }
      return df;
  }
  
  int max_flow()
  {
      int flow = 0;
      bfs();
      memset(num, 0, sizeof(num));
      for (int i = 0; i < num_nodes; i++) num[d[i]]++;
      int u = source;
      memset(cur, 0, sizeof(cur));
      while (d[source] < num_nodes) {
          if (u == sink) {
              flow += augment();
              u = source;
          }
          bool advanced = false;
          for (int i = cur[u]; i < G[u].size(); i++) {
              Edge& e = edges[G[u][i]];
              if (e.capacity > e.flow && d[u] == d[e.to] + 1) {
                  advanced = true;
                  p[e.to] = G[u][i];
                  cur[u] = i;
                  u = e.to;
                  break;
              }
          }
          if (!advanced) { // retreat
              int m = num_nodes - 1;
              for (iterator_t ix = G[u].begin(); ix != G[u].end(); ++ix)
                  if (edges[*ix].capacity > edges[*ix].flow)
                      m = min(m, d[edges[*ix].to]);
              if (--num[d[u]] == 0) break; // gap 优化
              num[d[u] = m+1]++;
              cur[u] = 0;
              if (u != source)
                  u = edges[p[u]].from;
          }
      }
      return flow;
  }

  我的Template：

  const int maxn=1000;
  const int INF=0x3f3f3f3f;
  int s,t,first[maxn],nxt[maxn];
  struct Edge{
  	int u,v,cap,flow;
  }e[maxn];
  bool vis[maxn];
  int q[maxn],d[maxn],p[maxn],num[maxn],cur[maxn];
  void bfs()//反向bfs进行预处理。构造d[]数组;
  {
      memset(vis,false,sizeof(vis));
      int head=0,tail=1;
      q[0]=t;
      d[t]=0;
      vis[t]=true;
      while(head!=tail){
          int now=q[head];head++;
          for(int i=first[now];i;i=nxt[i])
              if(!vis[e[i].u]&&e[i].cap>e[i].flow){
                  vis[e[i].u]=true;
                  d[e[i].u]=d[now]+1;
                  q[tail++]=e[i].u;
              }
      }
  }
  int Agument()
  {
      int x=t,a=INF;//从源点到汇点通过p数组追踪增广路径;
      while(x!=s){
          a=min(a,e[p[x]].cap-e[p[x]].flow);//找到最小容量;
          x=e[p[x]].u;
      }
      x=t;//更新流量;
      while(x!=s){
          e[p[x]].flow+=a;
          e[p[x]^1].flow-=a;
          x=e[p[x]].u;
      }
      return a;
  }
  int ISAP()
  {
      int flow=0;//flow记录最大流的int型变量;
      bfs();//宽搜构造d[]数组;
      memset(num,0,sizeof(num));//num即基数数组，记录在i这个距离上有几个点，进行gap优化;
      for(int i=1;i<=n;i++)num[d[i]]++;
      int x=s;
      memset(cur,0,sizeof(cur));//currently，即记录当前弧的数组;
      while(d[s]<n){
          if(x==t){
              flow+=Agument();//若已到汇点则增广并更新流量;
              x=s;//再从源点开始找新路径;
          }
          bool ok=false;
          for(int i=cur[x];i;i=nxt[i])
              if(e[i].cap>e[i].flow&&d[x]==d[e[i].v]+1){
                  ok=true;
                  p[e[i].v]=i;
                  cur[x]=i;
                  x=e[i].v;
                  break;
              }
          if(!ok){//retreat操作：更新d[]数组
              int mn=n-1;
              for(int i=first[x];i;i=nxt[i])
                  if(e[i].cap>e[i].flow)mn=min(mn,d[e[i].v]);
              if(--num[d[x]]==0)break;//gap 优化：如果x是距离汇点最后一个distance为d[x]的点，那么意味着s、t之后不再连通，则退出搜索;
              num[d[x]=mn+1]++;//不然再次记录;
              cur[x]=0;
              if(x!=s)x=e[p[x]].u;
          }
      }
      return flow;
  }
  void Link()//建立邻接表;
  {
      memset(nxt,0,sizeof(nxt));
      memset(first,0,sizeof(first));
      for(int a,b,c;m;m--){
          scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
          e[++ecnt].u=a,e[ecnt].v=b,e[ecnt].cap=c,e[ecnt].flow=0;
          nxt[ecnt]=first[a],first[a]=ecnt;
          e[++ecnt].u=b,e[ecnt].v=a,e[ecnt].cap=0,e[ecnt].flow=0;
          nxt[ecnt]=first[b],first[b]=ecnt;
      }
  }