【题解】Zap(莫比乌斯反演)

【题解】Zap(莫比乌斯反演)

裸题...

直接化吧

[P3455 POI2007]ZAP-Queries

所有除法默认向下取整

\[\Sigma_{i=1}^x\Sigma_{j=1}^y[(i,j)=k]
\\
=\Sigma_{i=1}^{x/k}\Sigma_{j=1}^{y/k}[(i,j)=1]
\\
=\Sigma_{i=1}^{x/k}\Sigma_{j=1}^{y/k}\Sigma_{d|(i,j)}\mu(d)
\\
=\Sigma_{d=1}^{min(x,y)}\Sigma_{i=1}^{x/k}\Sigma_{j=1}^{y/k}\mu(d)\times[d|(i,j)]
\\
=\Sigma_{d=1}^{min(x,y)}(\frac x {dk})(\frac y {dk})\mu(d)
\]

整除分块直接做...

有一个细节，可能有疑惑：

		r=min(x/(x/l),y/(y/l));
		ans+=1ll*(x/(l*k))*(y/((l*k)))*(sum[r]-sum[l-1]);

整除分块为什么是这样的？为什么r=min(x/(x/l),y/(y/l));中的"\(l\)"和ans+=1ll*(x/(l*k))*(y/((l*k)))*(sum[r]-sum[l-1]);不统一，为什么是(x/(l*k))*(y/(l*k))？这不是整除分块正常的套路啊？

可以这样理解，整除分块利用了\(\lfloor \frac x l \rfloor\)在一定范围内不变的性质，所以我们同样也会有\(\lfloor\frac {\lfloor \frac x l \rfloor} k\rfloor\)在一定范围内不变化，并且前面那个式子包括的\(l\)的范围一定小于后面的那个\(l\)的范围，所以我们按照\(\lfloor \frac x l \rfloor\)整除分块即可。

至于如何按照\(\lfloor\frac {\lfloor \frac x l \rfloor} k\rfloor=\lfloor \frac x {lk} \rfloor\)分块，我也不知道怎么办，希望有高手指点一下QAQ

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
template < class ccf >
 inline ccf qr(ccf b){
    register char c=getchar();register int q=1;register ccf x=0;
    while(c<48||c>57)q=c==45?-1:q,c=getchar();
    while(c>=48&&c<=57)x=x*10+c-48,c=getchar();
    return q==-1?-x:x;}
inline int qr(){return qr(1);}
const int maxn=1e5+5;
bool usd[maxn];
int mu[maxn];
int sum[maxn];
vector < int > ve;
int x,y,k;
#define pb push_back
inline void gen(){
    mu[1]=sum[1]=usd[1]=1;
    for(register int t=2;t< maxn;++t){
	if(not usd[t])
	    ve.pb(t),mu[t]=-1;
	for(register auto p:ve)
	    if(1ll*p*t<maxn)
		if(usd[p*t]=1,t%p) mu[p*t]=-mu[t];
		else break;
	    else break;
	sum[t]=sum[t-1]+mu[t];
    }
}
int main(){
    gen();
    int T=qr();
    while(T--){
	x=qr();y=qr();k=qr();
	ll ans=0;
	for(register int l=1,r=0,edd=min(x,y)/k;l<=edd;l=r+1){
	    r=min(x/(x/l),y/(y/l));
	    ans+=1ll*(x/(l*k))*(y/((l*k)))*(sum[r]-sum[l-1]);
	}
	cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}