浅谈splay(点的操作)

一、基本概念

splay本质:二叉查找树

特点:结点x的左子树权值都小于x的权值,右子树权值都大于x的权值

维护信息:

整棵树:root 当前根节点  sz书上所有结点编号

结点:f[] 父节点编号    ch[][2] 孩子结点编号,0左1右

siz[] 以结点为根的子树大小(包括自己)   cnt[]自己出现的次数

key[] 结点权值

二、基本操作

插入insert、删除del、查询x的排名findpos、查询排名为x的数findx、查找前驱pre、查找后继nex

核心操作:伸展操作splay

part 1:这么多操作难免会更改节点信息,我们先思考如何维护这些信息

siz,cnt 可以这样维护

void update(int x)
{
siz[x]=cnt[x];
if(ch[x][]) siz[x]+=siz[ch[x][]];
if(ch[x][]) siz[x]+=siz[ch[x][]];
}

f,ch,root 要在splay操作中修改

splay操作:就是讲结点x不断旋转至根节点

旋转过程谁成为谁的左右孩子,自己根据大小关系判断总结即可

旋转代码:

int getson(int x)
{
return ch[f[x]][]==x;
}
void rotate(int x)
{
int fa=f[x],fafa=f[fa],k=getson(x);
ch[fa][k]=ch[x][k^];f[ch[fa][k]]=fa;//对应蓝色线,调整x另一方向的孩子和x父节点的关系
ch[x][k^]=fa;f[fa]=x;//对应红色线 ,调整x和父节点的关系
f[x]=fafa;
if(fafa) ch[fafa][ch[fafa][]==fa]=x;//对应紫色线 ,调整x和父节点的父节点的关系
update(fa);update(x);
}

小细节:为什么先update(fa),再update(x) ,因为旋转前,fa是x的父节点,经旋转后,fa变为x的孩子节点,update操作是根据左右孩子子树大小更新的

调用:(双旋) 个人对于双旋的一点理解:http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6372344.html

void splay(int x)
{
for(int fa;fa=f[x];rotate(x))
if(f[fa]) rotate(getson(x)==getson(fa) ? fa :x);
root=x;
}

小细节:fa=f[x],1、每执行一次旋转,更新一次da   2、fa==true时才进行

part 2:

A、插入数x  insert(int x)

分为3种情况

1、树为空,直接插入x,并让x成为根节点

2、树不为空  ①树中已有x,x出现次数+1,以x为根的子树大小+1,旋转x至根节点

②树中没有x,在适当位置插入x,旋转x至根节点

void create(int x)
{
sz++;key[sz]=x;
cnt[sz]=siz[sz]=;
ch[sz][]=ch[sz][]=f[sz]=;
}
void insert(int x)//插入结点x
{
if(!root) create(x),root=sz;//splay为空
else
{
int now=root,fa=;
while()
{
if(key[now]==x)//树中有x
{
cnt[now]++;
          siz[now]++;
splay(now);
break;
}
fa=now;
now=ch[fa][x>key[fa]];
if(!now)
{
create(x);
f[sz]=fa;
ch[fa][x>key[fa]]=sz;
splay(sz);
break;
}
}
}
}

小细节:为什么要splay?仅仅是插入不是插进去就行吗?成不成为根节点有什么关系?

这是为了查找比x小/大的第一个数做铺垫,因为有可能x在树中没有出现过,所以先插入x,再找前驱/后继,这就可以直接从根节点找起,不用再找一次x的位置,最后删除x

(下面的E、F)

B、查询排名为x的数(从小到大)

记得平衡树怎么查找第k小吗?——如果左子树大小<k,找左孩子,否则找右孩子。

类比一下可以得出

1、如果x<当前点左子树大小,找左孩子,这里注意一个小细节是要先判断当前点是否有左孩子

2、否则  定义变量temp=当前结点出现次数+结点左子树大小

①、如果x<=temp 那么这个结点就是答案

因为既然x>=当前点左子树大小,那么他要么是当前点,要么在当前点的右子树

又因为x<=当前点+左子树大小+当前点出现次数,那么他是当前点

②、如果x>temp 那么x减去temp,找右孩子

int findx(int x)
{
int now=root;
while()
{
if(ch[now][]&&x<=siz[ch[now][]]) now=ch[now][];//千万不要漏了ch[now][0]==true
else
{
int temp=(ch[now][] ? siz[ch[now][]] : )+cnt[now];
if(x<=temp) return key[now];
x-=temp;
now=ch[now][];
}
}
}

C、查询x的排名

想想splay本质是二叉查找树,不难得出

1、如果x<当前节点权值  查找左孩子

2、否则 ,先令ans加上当前节点左子树大小

①、如果x=当前节点权值,旋转当前节点至根节点,返回ans+1

因为此时ans不包括当前节点,所以要+1

②、如果x>当前节点权值,ans加上当前节点出现次数,查找右孩子

int findpos(int x)
{
int now=root,ans=;
while()
{
if(x<key[now]) now=ch[now][];
else
{
ans+=ch[now][] ? siz[ch[now][]] : ;
if(x==key[now])
{
splay(now);
return ans+;
}
ans+=cnt[now];
now=ch[now][];
}
}
}

小细节:为什么要splay?

为了下面的删除操作做铺垫,删除数x需要先找到x的位置,删除操作是在x是根节点的基础上进行的(下面的F)

D、查找比x小的第一个数

这就有2种可能:x在树中,x不在树中

x在树中就是查找x的前驱,那么不在树中呢?

我们可以向在树中插入x,在查找前驱,最后再删除x

如何查找前驱? 转向x的左孩子l,然后在l的子树里一直往右找

调用代码:

insert(x);printf("%d\n",key[pre()]);del(x);break;

查找前驱代码:

int pre()
{
int now=ch[root][];
while(ch[now][]) now=ch[now][];
return now;
}

E、查询比x大的第一个数

同理D

直接给代码

insert(x);printf("%d\n",key[nex()]);del(x);break;
int nex()
{
int now=ch[root][];
while(ch[now][]) now=ch[now][];
return now;
}

F、删除数x

分为5种情况

首先,你要先找到x在哪儿,将其旋转至根节点,这里可以直接调用findpos函数

然后,分类讨论(此时根节点就是数x,所以此后操作变为删除根节点)

删除:结点所有信息清0即可

void clear(int x)
{
ch[x][]=ch[x][]=cnt[x]=siz[x]=f[x]=key[x]=;
}

1、根节点在splay树中出现次数>1  根节点的出现次数-1,子树大小-1

if(cnt[root]>)
{
cnt[root]--;siz[root]--;
return;
}

2、否则 ①  根节点既没有左孩子又没有右孩子,说明树中只有这一个结点,直接删去,并 root=0

if(!ch[root][]&&!ch[root][])
{
clear(root);
root=;//千万不要漏了这一句
return;
}

② 根节点没有左孩子,说明树左边为空,那么只需把根节点的右孩子提为根节点,删除原根节点  小细节:新根节点的父节点置为0

    if(!ch[root][])
{
int tmp=root;
root=ch[root][];
f[root]=;//不要漏了它
clear(tmp);
return;
}

③ 根节点没有右孩子,与②同理

 if(!ch[root][])
{
int tmp=root;
root=ch[root][];
f[root]=;
clear(tmp);
return;
}

④ 根节点既有左孩子又有右孩子

我们可以先把x的前驱l旋转为根节点

手动模拟一下过程可以发现:

在l成为根节点的前一步,一定是x的左孩子 ,这说明了l成为根节点后,x不会有左孩子

那么我们就可以直接把x的右孩子提到x的位置,删除x即可

int pre1=pre(),tmp=root;//tmp现在相当于x的位置
splay(pre1);//x前驱旋转为根节点 ,经过此操作后,根节点变为x的前驱
ch[root][]=ch[tmp][];//x的右孩子提到x的位置
f[ch[tmp][]]=root;//更新父节点
clear(tmp);//删除x
update(root);

为什么要在x是根节点的基础上执行删除操作?

因为splay要维护cnt、siz等信息

如果x不是根节点,x删除,x以上所有结点关于个数之类的信息都要更改

而如果x是根节点,x删除,不会影响其他结点

splay  插入insert、删除del、查询x的排名findpos、查询排名为x的数findx、查找前驱pre(第一个比x小的数)、查找后继nex(第一个比x大的数)完整代码

题目描述

您需要写一种数据结构(可参考题目标题),来维护一些数,其中需要提供以下操作:

.插入x数

.删除x数(若有多个相同的数,因只删除一个)

.查询x数的排名(若有多个相同的数,因输出最小的排名)

.查询排名为x的数

.求x的前驱(前驱定义为小于x,且最大的数)

.求x的后继(后继定义为大于x,且最小的数)

输入输出格式

输入格式:
第一行为n,表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x,opt表示操作的序号(<=opt<=) 输出格式:
对于操作3,,,6每行输出一个数,表示对应答案

代码背景简述

题目来源:https://www.luogu.org/problem/show?pid=3369

#include<cstdio>
#define N 1000000
using namespace std;
int f[N],ch[N][],key[N],cnt[N],siz[N],sz,root;
void update(int x)
{
siz[x]=cnt[x];
if(ch[x][]) siz[x]+=siz[ch[x][]];
if(ch[x][]) siz[x]+=siz[ch[x][]];
} int pre()
{
int now=ch[root][];
while(ch[now][]) now=ch[now][];
return now;
}
int nex()
{
int now=ch[root][];
while(ch[now][]) now=ch[now][];
return now;
}
int getson(int x)
{
return ch[f[x]][]==x;
}
void rotate(int x)
{
int fa=f[x],fafa=f[fa],k=getson(x);
ch[fa][k]=ch[x][k^];f[ch[fa][k]]=fa;
ch[x][k^]=fa;f[fa]=x;
f[x]=fafa;
if(fafa) ch[fafa][ch[fafa][]==fa]=x;
update(fa);update(x);
}
void splay(int x)
{
for(int fa;fa=f[x];rotate(x))
if(f[fa]) rotate(getson(x)==getson(fa) ? fa :x);
root=x;
}
int findpos(int x)
{
int now=root,ans=;
while()
{
if(x<key[now]) now=ch[now][];
else
{
ans+=ch[now][] ? siz[ch[now][]] : ;
if(x==key[now])
{
splay(now);
return ans+;
}
ans+=cnt[now];
now=ch[now][];
}
}
}
int findx(int x)
{
int now=root;
while()
{
if(ch[now][]&&x<=siz[ch[now][]]) now=ch[now][];//千万不要漏了ch[now][0]==true
else
{
int temp=(ch[now][] ? siz[ch[now][]] : )+cnt[now];
if(x<=temp) return key[now];
x-=temp;
now=ch[now][];
}
}
}
void clear(int x)
{
ch[x][]=ch[x][]=cnt[x]=siz[x]=f[x]=key[x]=;
}
void create(int x)
{
sz++;key[sz]=x;
cnt[sz]=siz[sz]=;
ch[sz][]=ch[sz][]=f[sz]=;
}
void insert(int x)
{
if(!root) create(x),root=sz;
else
{
int now=root,fa=;
while()
{
if(key[now]==x)
{
cnt[now]++;
siz[now]++;
splay(now);
break;
}
fa=now;
now=ch[fa][x>key[fa]];
if(!now)
{
create(x);
f[sz]=fa;
ch[fa][x>key[fa]]=sz;
splay(sz);
break;
}
}
}
} void del(int x)
{
int t=findpos(x);
if(cnt[root]>)
{
cnt[root]--;siz[root]--;
return;
}
if(!ch[root][]&&!ch[root][])
{
clear(root);
root=;
return;
}
if(!ch[root][])
{
int tmp=root;
root=ch[root][];
f[root]=;
clear(tmp);
return;
}
if(!ch[root][])
{
int tmp=root;
root=ch[root][];
f[root]=;
clear(tmp);
return;
}
int pre1=pre(),tmp=root;
splay(pre1);
ch[root][]=ch[tmp][];
f[ch[tmp][]]=root;
clear(tmp);
update(root);
}
int main()
{
int n,opt,x;
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&opt,&x);
switch(opt)
{
case :insert(x);break; //插入x
case :del(x);break;//删除x
case :printf("%d\n",findpos(x));break;//查询x的排名
case :printf("%d\n",findx(x));break;//查询排名为x的数
case :insert(x);printf("%d\n",key[pre()]);del(x);break;//查找第一个小于x的数
case :insert(x);printf("%d\n",key[nex()]);del(x);break;//查找第一个大于x的数
}
}
}

浅谈splay(点的操作)的更多相关文章

  1. 浅谈.net中数据库操作事务

    .net中的事务 关键几点 概念:1:什么是事务 2:什么时候用事务 3:基本的语法 (1): 事务(Transaction)是访问并可能更新数据库中各种数据项的一个程序执行单元(unit).事务通常 ...

  2. 浅谈splay

    \(BST\) 二叉查找树,首先它是一颗二叉树,其次它里面每个点都满足以该点左儿子为根的子树里结点的值都小于自己的值,以该点右儿子为根的子树里结点的值都大于自己的值.如果不进行修改,每次查询都是\(O ...

  3. 浅谈splay的双旋

    昨晚终于明白了splay双旋中的一些细节,今日整理如下 注:题目用的2002HNOI营业额统计,测试结果均来及codevs 网站的评测结果 http://codevs.cn/problem/1296/ ...

  4. 简析平衡树(三)——浅谈Splay

    前言 原本以为\(Treap\)已经很难了,学习了\(Splay\),我才知道,没有最难,只有更难.(强烈建议先去学一学\(Treap\)再来看这篇博客) 简介 \(Splay\)是平衡树中的一种,除 ...

  5. 浅谈Notepad++选中行操作+快捷键+使用技巧【超详解】

    Notepad++选中行操作 快捷键 使用技巧 用Notepad++写代码,要是有一些重复的代码想copy一下,还真不容易,又得动用鼠标,巨烦人.... 有木有简单的方法呢,确实还是有的不过也不算太好 ...

  6. 浅谈如何用Java操作MongoDB

    NoSQL数据库因其可扩展性使其变得越来越流行,利用NoSQL数据库可以给你带来更多的好处,MongoDB是一个用C++编写的可度可扩展性的开源NoSQL数据库.本文主要讲述如何使用Java操作Mon ...

  7. 浅谈MySQL多表操作

    字段操作 create table tf1( id int primary key auto_increment, x int, y int ); # 修改 alter table tf1 modif ...

  8. 浅谈“Mysql”的基础操作语句

    /*-------------------------------------------读者可以补充内容到下面-------------------------------------------- ...

  9. 浅谈配置chrome浏览器允许跨域操作的方法

    浅谈配置chrome浏览器允许跨域操作的方法 一:(Lying人生感悟.可忽略) 最近有一天,对着镜子,发现满脸疲惫.脸色蜡黄.头发蓬松.眼神空洞,于是痛诉着说生活的不如意,工作没激情,工资不高,一个 ...

随机推荐

  1. HDU 2262 Where is the canteen 期望dp+高斯消元

    题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2262 Where is the canteen Time Limit: 10000/5000 MS ...

  2. cobbler技术详解(是PXE二次详解)

    Cobbler是PXE的二次封装,使用Python语言开发, 可以用来快速建立 Linux 网络安装环境,它已将 Linux 网络安装的技术门槛,从大专以上文化水平,成功降低到初中以下,连补鞋匠都能学 ...

  3. Alpha阶段博客链接

    博客链接 团队项目启程篇章:http://www.cnblogs.com/liuliudashun/p/5968194.html 团队项目开发篇章1:http://www.cnblogs.com/li ...

  4. 带复杂类的list,list<class>前台往后台传输

    1.前台 $("#applyGoods").click(function(){ var usid=$(this).next().text(); var aid=$(this).ne ...

  5. 软工网络15团队作业8——Beta阶段敏捷冲刺(Day4)

    提供当天站立式会议照片一张 每个人的工作 1.讨论项目每个成员的昨天进展 赵铭: 在知晓云上建立数据表 吴慧婷:做了背单词界面并学习了词库界面的设计. 陈敏: 我的词库-全部词汇功能/新建词汇功能全部 ...

  6. “四则运算生成程序——GUI支持和部分功能改进”链接

    项目成员:张金生     张政 <正文随笔发布在张金生博客中> 四则运算生成程序——GUI支持和部分功能改进

  7. modify headers插件的使用

    Modity headers是firefox浏览器的一个插件,作用是改变http请求的IP地址 (一)在firefox中添加该插件 步骤一:打开firefox浏览器,打开地址: https://add ...

  8. C++中的栈内存和堆内存的区别

    数据结构中的堆与栈: 栈:是一种连续储存的数据结构,具有先进后出的性质.通常的操作有入栈(圧栈).出栈和栈顶元素.想要读取栈中的某个元素,就要将其之前的所有元素出栈才能完成.类比现实中的箱子一样. 堆 ...

  9. 1使用 vue-cli 搭建项目(cp)

    http://www.cnblogs.com/wisewrong/p/6255817.html(copy:web) https://zhuanlan.zhihu.com/p/26183652(也很好) ...

  10. uva 1513(线段树)

    题目链接:1513 - Movie collection 题意:有一堆电影,按1-n顺序排,有m次操作,每次询问第ai个电影之前有多少个电影,然后将其抽出放在堆顶. 分析:线段树应用. 因为每次查询后 ...