Codeforces Round #463 F. Escape Through Leaf (李超线段树合并)

听说正解是啥 set启发式合并+维护凸包+二分 根本不会啊 , 只会 李超线段树合并 啦 ...

题意

给你一颗有 \(n\) 个点的树 , 每个节点有两个权值 \(a_i, b_i\) .

从 \(u\) 跳到 \(v\) 的代价是 \(a_u \times b_v\) . 你需要计算每个节点跳到叶子的最小代价 .

\((n \le 10^5, -10^5 \le a_i, b_i \le 10^5)\)

题解

我们首先考虑一个很容易的 \(dp\) , 令 \(dp_i\) 为 \(i\) 跳到叶子的最小代价 .

那么显然有一个转移 此处 \(v\) 是 \(u\) 的后代 .

\[\displaystyle dp_u = \min_v \{a[u] \times b[v] + dp_v\}
\]

暴力转移是 \(O(n^2)\) 的显然无法接受 .

那么考虑优化 , 不难发现这个转移就是 李超线段树上求多条直线 \(y=kx+b\) 在 \(x=k\) 最值的形式 .

\((k = b[v], x = a[u], b=dp_v)\)

那么显然可以考虑用李超线段树维护这个 \(dp\) .

对于树上的每个点 , 可以用一颗李超线段树维护这个点子树的所有直线信息 .

然后我们只需要考虑合并几颗子树信息了 , 不难发现是 套路的 线段树合并 . (这样时间空间复杂度都正确了?)

我们直接同时遍历两颗线段树 , 然后把其中一颗当前区间的优势直线暴力插入另外一颗线段树 .

最后把子树全都合并上来后 , 直接询问出 \(dp_u\) 就行了 , 然后再插入到这颗线段树中去 .

由于询问 \(a_i\) 可能为负数 , 而线段树不太好维护负数 , 我们考虑插入直线和询问的时候都向右平移 \(lim = 10^5\) 长度 .

原来的直线 \(y=kx+b\) 就变成了 \(y'=k(x-lim)+b=kx+(b-k\cdot lim)\) 了 .

(也许可以维护负数 diversion 说可以)

最后瞎分析时间复杂度 \(O(\sum minsize \log n) = O(n \log ^2 n)\) ... (错了的话大佬帮我指正啊qwq)

这道题还是比较好写的 ...

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ':' << x << endl
using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("F.in", "r", stdin);
	freopen ("F.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 2e5 + 1e3, Lim = 1e5 + 5;
typedef long long ll;

struct Line { ll k, b; int id; ll func(int x) { return k * x + b; } };

inline bool Cmp(Line a, Line b, int x) { if (!a.id) return true; return a.func(x) > b.func(x); }

int rt[N];

const int Maxn = N * 30;
#define lson ls[o], l, mid
#define rson rs[o], mid + 1, r
struct Chao_Segment_Tree {
	Line Adv[Maxn]; int ls[Maxn], rs[Maxn], Size;

	Chao_Segment_Tree () {Size = 0;};

	void Insert(int &o, int l, int r, Line uv) {
		if (!o) o = ++ Size;
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (Cmp(Adv[o], uv, mid)) swap(Adv[o], uv);

		if (l == r || Adv[o].k == uv.k || !uv.id) return ;
		double x = (double)(Adv[o].b - uv.b) / (uv.k - Adv[o].k);
		if (x < l || x > r) return ;

		if (uv.k > Adv[o].k) Insert(lson, uv); else Insert(rson, uv);
	}

	int Merge(int x, int y, int l, int r) {
		if (!x || !y) return x + y;
		Insert(x, l, r, Adv[y]);
		int mid = (l + r) >> 1;
		ls[x] = Merge(ls[x], ls[y], l, mid);
		rs[x] = Merge(rs[x], rs[y], mid + 1, r);
		return x;
	}

	Line Query(int o, int l, int r, int qp) {
		if (l == r) return Adv[o];
		int mid = (l + r) >> 1;
		Line tmp = (qp <= mid) ? Query(lson, qp) : Query(rson, qp);
		return Cmp(tmp, Adv[o], qp) ? Adv[o] : tmp;
	}

} T;

int n, A[N], B[N]; vector<int> G[N];

ll dp[N];

inline void Insert(int ver) {
	ll k = B[ver], b = dp[ver] - Lim * k;
	T.Insert(rt[ver], 1, Lim * 2, (Line) {k, b, ver});
}

inline ll Query(int ver) {
	int tmp = T.Query(rt[ver], 1, Lim * 2, A[ver] + Lim).id;
	return 1ll * A[ver] * B[tmp] + dp[tmp];
}

void Dp(int u, int fa) {
	for (int v : G[u]) if (v ^ fa)
		Dp(v, u), rt[u] = T.Merge(rt[u], rt[v], 1, Lim * 2);
	dp[u] = Query(u); Insert(u);
}

int main () {
	File();

	n = read();
	For (i, 1, n) A[i] = read();
	For (i, 1, n) B[i] = read();

	For (i, 1, n - 1) {
		int u = read(), v = read();
		G[u].push_back(v); G[v].push_back(u);
	}

	Dp(1, 0); For (i, 1, n) printf ("%lld%c", dp[i], i == iend ? '\n' : ' ');

    return 0;
}