Matlab: 白噪声与曲线拟合

在信号处理中常常需要用到曲线拟合，这里介绍一下利用最小二乘拟合一般曲线的方法，并对滤掉信号中白噪声的方法作些介绍。

为了测试拟合算法的好坏，先模拟出一个信号作为检验算法的例子：

1. 用白噪声产生模拟信号：
   
   对于理论信号y=y(x)，一般可用rand(size(x))和randn(size(x))生成随即噪声信号，两者的区别在于rand生成的噪声信号都是正值，而randn生成的噪声信号则是正负跳跃分布的，所以randn作为白噪声信号，更符合实际情况：

f0=@(c,x)( (x>=0&x<c(1))*0 + (x>=c(1)&x<c(2))*c(3)/(c(2)-c(1)).*(x-c(1)) + (x>=c(2)&x<c(4)).*( (c(5)-c(3))/(c(4)-c(2))*(x-c(2))+c(3) ) + (x>=c(4)&x<c(6))*c(5)/(c(4)-c(6)).*(x-c(6)) + (x>=c(6))*0 );
disp('real c0');
c0=[1, 2, 1, 5, 2, 6]
x_int=0:0.002:10;
y_int=f0(c0,x_int);
%(x_int, y_int) is perfect zigzag signal
%sig=y_int+0.5*rand(size(x_int));
sig=y_int+0.5*randn(size(x_int));

1. 最小二乘折线拟合
   
   考虑到需要拟合的函数是个分段的折线函数，需要首先建立含有固定参数的折线函数的数学模型，算法如下图：
   
   
   
   按照这个算法，用matlab搭建的代码如下：

% try zigzag fitting
f2=@(c,x)( (x>=0&x<c(1))*0 + (x>=c(1)&x<c(2))*c(3)/(c(2)-c(1)).*(x-c(1)) + (x>=c(2)&x<c(4)).*( (c(5)-c(3))/(c(4)-c(2))*(x-c(2))+c(3) ) + (x>=c(4)&x<c(6))*c(5)/(c(4)-c(6)).*(x-c(6)) + (x>=c(6))*0 );
c0=[1.1, 1.5, 1.8, 5.4, 2.5, 5.6];
c_fit=nlinfit(x_int,sig,f2,c0);
y2=f2(c_fit,x_int);
figure();
plot(x_int,sig,'blue');
hold on
plot(x_int,y2,'red --','linewidth',2);
legend('sig','zigzag fitting');

真实参数：1，2，1，5，2，6

拟合参数：1.0237，2.06，1.0107，4.9479，2.1101，6.0005

可以看到，拟合的参数多少和真实的参数存在一些差异，但是已经非常接近。

1. 优化：傅立叶变换降噪
   
   如果要进一步提高拟合的精度，需要设法降低白噪声的干扰。因为白噪声是一种宽谱的干扰，所以常用的带通滤波处理是不可行的，这里可以考虑对信号进行傅立叶变换，滤掉其中强度较弱的白噪声频域成分。

Fs=1/(x_int(2)-x_int(1));
nfft=length(sig);
sig_fft_comp=fft(sig);
sig_fft_real=2*abs(sig_fft_comp)/nfft;
% adjust the distribution of spectrum according to double frequency direction
sig_fft_real_adjust=[sig_fft_real(round(nfft/2+1):end),sig_fft_real(1:round(nfft/2))];
f_double=linspace(-Fs/2,Fs/2,nfft);
% apply the A(f) strength filter
Af_level=0.01;
Af_lim=Af_level*max(sig_fft_real);
i_fd=find(sig_fft_real<Af_lim);
sig_fft_fit=sig_fft_comp;
sig_fft_fit(i_fd)=0;
figure();
plot(f_double,sig_fft_real_adjust);
xlabel('f(Hz)');
ylabel('A(f)');
xlim([f_double(1),f_double(end)]);
hold on
plot(f_double,Af_lim*ones(size(f_double)),'red --','linewidth',1);
legend('spectrum','Af limit');
% reconstruct the signal with filtered spectrum
sig_fit=ifft(sig_fft_fit);
% perform fitting for the A filtered signal
disp('fit c0 after A filter');
c_fit3=nlinfit(x_int,sig_fit,f2,c0)
y3=f2(c_fit3,x_int);
% compare signal and fitted signal
figure();
plot(x_int,sig,'black',x_int,sig_fit,'red');
hold on
plot(x_int,y3,'green --','linewidth',2);
legend('sig','Fourier fit','zigzag fit');

傅立叶降噪后结果如下：

此时算得的拟合系数是：
1.0677，1.8680， 0.9665，5.0140，1.9736，5.9895
这比降噪前的效果稍好了一些，更贴近与真实的折线系数。但是编程的复杂度上升了很多，在对拟合的精度要求不是太高的情况下，可以不用作傅立叶降噪的处理。

1. 补充：matlab多项式拟合函数(polyfit)
   
   [p,s,mu]=polyfit(x,y,n)
   
   x,y是被拟合的离散曲线点，n是需要拟合的多项式次数(默认的多项式是幂级数形式的)，其中p是个多项式各次项的系数，是按照指数从高到低排列的。mu(1)是y的平均值，mu(2)是单位标准偏差(unit standard deviation，可缩写成STD)
   
   \(SDT=\frac{y-mean(y)}{\sigma}\)