最长上升子序列 LIS(Longest Increasing Subsequence)
引出:
问题描述:给出一个序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7….an,求它的一个子序列(设为s1,s2,…sn),使得这个子序列满足这样的性质,s1<s2<s3<…<sn并且这个子序列的长度最长。输出这个最长的长度。(为了简化该类问题,我们将诸如最长下降子序列及最长不上升子序列等问题都看成同一个问题,其实仔细思考就会发现,这其实只是<符号定义上的问题,并不影响问题的实质)
例如有一个序列:1 7 3 5 9 4 8,它的最长上升子序列就是 1 3 4 8 长度为4.
分析:
这题目是经典的DP题目,也可叫作LIS(Longest Increasing Subsequence)最长上升子序列 或者 最长不下降子序列。很基础的题目,有两种算法,复杂度分别为O(n*logn)和O(n^2) 。
算法1:
时间复杂度:O(n^2):
我们依次遍历整个序列,每一次求出从第一个数到当前这个数的最长上升子序列,直至遍历到最后一个数字为止,然后再取dp数组里最大的那个即为整个序列的最长上升子序列。我们用dp[i]来存放序列1-i的最长上升子序列的长度,那么dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 显然dp[1]=1,我们从i=2开始遍历后面的元素即可。
1 |
// Author: Tanky Woo |
算法2:
时间复杂度:(NlogN):
除了算法一的定义之外,增加一个数组b,b[i]用以表示长度为i最长子序列的最后一个数最小可以是多少。易证:i<j时,b[i]<b[j]。
在二分查找时,一直更新b[]内容,设此时b的总长度为k,
若1. arr[i] >= b[k], 则b[k+1] = arr[i];
若2. arr[i] < b[k], 则在b[1..k]中用二分搜索大于arr[i]的最小值,返回其位置pos,然后更新b[pos]=arr[i]。
1 |
// Author: Tanky Woo |
以下是证明b[]的单调递增性:
b序列是严格递增的,即b[1] < b[2] < … < b[t]。
证明:
若b[i] >= b[i + 1],b[i + 1] 是长度为i+1的递增子序列的尾项的最小值,设此序列为x[1]..x[i+1],x[1]..x[i]即构成长度为i的递增子序列,x[i] < x[i+1] = b[i+1] <= b[i],与b[i]定义不符。
最后,给出两个有代表性的题目:
1.HDOJ 1257 最少拦截系统
题目传送门:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1257
解题报告传送门:http://www.wutianqi.com/?p=1841
此题用O(n^2)解法做即可。
2.HDOJ 1025 Constructing Roads In JGShining’s Kingdom
题目传送门:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1025
解题报告传送门:http://www.wutianqi.com/?p=1848
此题数据量较大,所以要用O(NlogN)的解法做。
最长上升子序列 LIS(Longest Increasing Subsequence)的更多相关文章
- 最长递增子序列 (LIS) Longest Increasing Subsequence
问题描述: 有一个长为n的数列a0, a1,..., an-1.请求出这个序列中最长的上升子序列.请求出这个序列中最长的上升子序列. 上升子序列:对于任意i<j都满足ai<aj的子序列. ...
- 最长上升子序列(Longest increasing subsequence)
问题描述 对于一串数A={a1a2a3…an},它的子序列为S={s1s2s3…sn},满足{s1<s2<s3<…<sm}.求A的最长子序列的长度. 动态规划法 ...
- LeetCode 300. 最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence)
题目描述 给出一个无序的整形数组,找到最长上升子序列的长度. 例如, 给出 [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18], 最长的上升子序列是 [2, 3, 7, 101],因此它的长度是 ...
- 动态规划求最长公共子序列(Longest Common Subsequence, LCS)
1. 问题描述 子串应该比较好理解,至于什么是子序列,这里给出一个例子:有两个母串 cnblogs belong 比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与 ...
- 最长上升子序列(LIS: Longest Increasing Subsequence)
示例: 输入: [10,9,2,5,3,7,101,18] 输出: 4 解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101],它的长度是 4. 从网上找的一段代码(我由java改为了C++版本),原作者 ...
- C#LeetCode刷题之#594-最长和谐子序列(Longest Harmonious Subsequence)
问题 该文章的最新版本已迁移至个人博客[比特飞],单击链接 https://www.byteflying.com/archives/3800 访问. 和谐数组是指一个数组里元素的最大值和最小值之间的差 ...
- About LIS(Longest Increasing Subsequence)
今天528给讲了基础的DP,其中第一道例题就是最长不下降子序列——LIS. 题目简述:给出N个数,求最长不下降子序列的长度. 数据范围:30% N<=1000 ; 100% N<=1000 ...
- 动态规划之最长公共子序列LCS(Longest Common Subsequence)
一.问题描述 由于最长公共子序列LCS是一个比较经典的问题,主要是采用动态规划(DP)算法去实现,理论方面的讲述也非常详尽,本文重点是程序的实现部分,所以理论方面的解释主要看这篇博客:http://b ...
- 动态规划 ---- 最长公共子序列(Longest Common Subsequence, LCS)
分析: 完整代码: // 最长公共子序列 #include <stdio.h> #include <algorithm> using namespace std; ; char ...
随机推荐
- Spring详解(五)------AOP
这章我们接着讲 Spring 的核心概念---AOP,这也是 Spring 框架中最为核心的一个概念. PS:本篇博客源码下载链接:http://pan.baidu.com/s/1skZjg7r 密码 ...
- 猜数字游戏--基于python
"""题目:练习使用python写一个猜数字的游戏,数字范围0-100,每次猜错,需要给出缩小后的范围,每个人只有10次的猜测机会,猜测机会用完游戏结束!"&q ...
- 第3阶段——内核启动分析之make menuconfig内核配置(2)
目标: 分析make menuconfig内核配置过程 在上1小结中(内核编译试验)讲到了3种不同的配置: (1)通过make menuconfig 直接从头到尾配置.config文件 (2) 通过m ...
- shell脚本进阶之循环判断
p.MsoNormal,li.MsoNormal,div.MsoNormal { margin: 0cm; margin-bottom: .0001pt; text-align: justify; f ...
- Mybatis源码解析-BoundSql
mybatis作为持久层,其操作数据库离不开sql语句.而BoundSql则是其保存Sql语句的对象 前提 针对mybatis的配置文件的节点解析,比如where/if/trim的节点解析可见文章Sp ...
- 个人作业3——个人总结(Alphe)
小结: 1.软件工程的第一阶段终于结束了,说实话,每个人的课程都很紧张,在这么紧张的时期我们都每周抽出一些时间来开个小会总结或者计划软件工程的相关任何非常难得,大家的态度都诚恳认真,我亦是如此,只是我 ...
- SNS团队Beta阶段第五次站立会议(2017.5.26)
1.立会照片 2.每个人的工作 成员 今天已完成的工作 明天计划完成的工作 罗于婕 生词本功能测试,bug修复 发音图标的改进 龚晓婷 辅助完善历史纪录的功能 对于历史记录功能的测试 林仕庄 继续完善 ...
- Quartz入门指南
Quartz入门指南 看到官网的教程对于新手来说不够全面和连贯,因此结合自己的使用过程写下这个入门指南,用以解惑.本文基于Quartz2.2.2版本.请注意,本文为了易于上手,省略了许多重要的概念,建 ...
- 201521123097《Java程序设计》第三周学习总结
1. 本周学习总结 2. 书面作业 1.代码阅读 public class Test1 { private int i = 1;//这行不能修改 private static int j = 2; p ...
- 201521123028《Java程序设计》第1周学习总结
1. 本周学习总结 通过本周的学习: 1.了解了Java的发展史(从OAK转向Internet,并逐步发展至今的历程) 2.与C语言比较,Java语言的特点: ①将源程序编译成一种结构中立的中间文件格 ...