二叉树的最近公共祖先

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给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为:“对于有根树 T 的两个结点 p、q,最近公共祖先表示为一个结点 x,满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大(一个节点也可以是它自己的祖先)。”

例如,给定如下二叉树: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4]

示例 1: 输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1 输出: 3 解释: 节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3。

示例 2: 输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4 输出: 5 解释: 节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:

  • 所有节点的值都是唯一的。
  • p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉树中

思路

根据题目要求,我们需要先找到对应的两个节点p、q,然后再回去找他们的最近的公共父节点

这么一个过程实际上顺序是自下而上的,也就是说,如果能从下往上搜索父节点,那么这个问题就好解决了,如何做到呢?

首先,节点p、q肯定是左右节点,那么我们遍历的时候肯定得先遍历到这两个左右节点

符合上述条件的遍历方式是:后序遍历(左右中)

其次,当找到节点p、q,我们需要"回头"往上找他们的公共父节点,实际上就可以在左右中的 里面处理查找公共父节点的逻辑

后序遍历也满足查找父节点的要求

判断公共祖先

遍历方式确定了,那么还需要解决一个问题:怎么判断一个节点是不是节点q和节点p的公共祖先

这里一共有两种情况:

情况1

最容易想到的是第一种,即当遍历到某个节点A,其左子节点B找到p(并返回),右子节点C找到q(并返回),那么此时可以认为节点A是B、C的最近公共祖先

图示如下:

从根节点6开始进行后序遍历,那么先遍历6的左子节点4和右子节点7

(先进入左子节点4的递归中)

到4之后,因为其左右子节点不为空,使用又继续按后序顺序遍历

此时在4的左子节点找到了p,返回

在4的右子节点找到了q,返回

然后再p、q的父节点4这里处理逻辑:找到目标节点,当前根节点4为最近公共节点

于是把4往根节点6传

最后的效果就是:在递归函数中输入了一颗二叉树的根节点6,然后通过递归找到了目标节点p、q,然后通过后序遍历左右中的顺序在 里面处理了最近公共父节点的判断逻辑,并把处理所得的最近公共父节点通过回溯传到递归的第一层,得到结果

情况2

还是从根节点6开始,只不过这次我们在6的左子节点就找到了q

因为还没有找到p,并且节点4还有子节点,所以还得继续遍历(只要没有找齐p、q都应该继续遍历,因此在该问题中,我们可能被迫需要遍历整颗二叉树而不是找到目标值就返回

继续

遍历节点4的左右子节点,在左子节点找到p,并且其没有子节点,此时需要返回

在节点4的位置处理其左右子节点返回的结果,并给出当前p、q的最近公共父节点(具体操作在代码里再解释),实际上就是节点4

于是我们得到了p、q的最近公共父节点,此时将结果往上返回,得出最后的解

总结

通过分析两种情况,可以发现:不论p、q以哪种方式被找到,最终的处理过程都在左右中顺序里面的 的位置处理。(也就是调用递归函数时输入的节点。从递归函数的角度讲,该节点为根节点;从我们遍历的角度讲,该节点为当前节点,也就是左右中里面位于 的节点)

因此,情况2会被情况1包含,在处理情况1的逻辑下,情况2会被一并处理

代码分析

还是写递归的老一套

1、确定递归函数参数和返回值

首先能够确定的是,这里的递归函数需要返回值,因为我们需要通过返回值来了解是否找到了p、q

一种直接的想法是返回bool值,但是不行

因为在中节点位置完成逻辑处理后,我们需要返回的是 最近公共父节点 ,这是一个节点类型值

所以干脆直接就设定返回值为节点类型,如果有返回值就表明找到p或q

这样的话还可以利用解题模板

class Solution {
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) { }
};

2、确定终止条件

根据上面的分析,递归结束的情况有:

  • 当找到p
  • 找到q
  • 当前输入的节点root为NULL
class Solution {
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
if(root == p || root ==q || root == NULL) return root;
}
};

如果 root == q,或者 root == p,说明找到 q p ,则将其返回,这个返回值,后面在中节点的处理过程中会用到

3、确定单层处理逻辑

因为本题中需要使用回溯机制来处理返回值,而后序遍历的顺序是 左右中

我们是在中节点位置处理父节点判断逻辑的,但是由于是先遍历 左右 节点

因此在得到返回值并处理之前,需要等待左右节点的递归遍历完成,而递归一旦触发,就会一直遍历下去直到递归函数的输入为NULL,也就是遇到叶子节点才会结束

因此,在本题中,由于使用了后序遍历,我们被迫遍历了整颗二叉树

根据在路径总和问题中的讨论有提到这种情况

题外话

如果递归函数有返回值,如何区分要搜索一条边,还是搜索整个树呢?

搜索一条边的写法:

if (递归函数(root->left)) return ;

if (递归函数(root->right)) return ;

搜索整个树写法:

left = 递归函数(root->left);  // 左
right = 递归函数(root->right); // 右
left与right的逻辑处理; // 中

上面两种写法的区别是:

搜索一条边时,我们遇到不符合条件的节点时就立马返回,然后换边搜索

搜索整个树时,我们使用一个变量去接收递归函数的返回值(是的,根据规则搜索整棵树时一般有返回值),然后在中节点处进行逻辑处理,并通过回溯返回到上一级递归

这也是为什么会"被迫"遍历整颗树的原因

言归正传

现在可以按照后序遍历顺序去写处理逻辑了

class Solution {
public:
//确定递归函数的输入和返回值
//因为需要通过返回值,在中节点位置判断父节点,且需要返回父节点值,故返回值应该是节点类型
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
//确定终止条件
//当以下条件满足时,都要返回当前节点
if(root == NULL || root == q || root == p) return root; //确定单层处理逻辑
//后序遍历
//左
TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
//右
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
//中,在中节点位置处理左右的返回值,判断当前节点是否为最近公共父节点 //如果当前节点的左右子节点的返回值都不为空
//表明找到目标值,那么当前节点即为最近公共父节点
if(left != NULL && right != NULL) return root; if(left == NULL && right != NULL){//左节点不为空右为空,说明当前节点不是公共父节点,把left再往上传(回溯)
return right;
}else if(left != NULL && right == NULL){//右节点不为空左为空,说明当前节点不是公共父节点,把right再往上传(回溯)
return left;
}else{// (left == NULL && right == NULL)
return NULL;//什么都没找到返回空
}
}
};

注意,这里我们是使用回溯过程中返回的值来判断公共父节点

当前节点调用递归函数后,通过递归我们会寻找其下所有子节点中p、q存在的位置(题目说了必定存在,且不会是重复值)

当找到之后递归函数会通过回溯机制层层返回p、q

假如出现以下情况:(p、q不在同一分支)

这种情况的话,虽然不能马上找到最近公共父节点,但是通过层层递归并回溯p、q的值,总会在满足最近公共父节点的节点处触发条件

如果是代码分析中的情况1,那么返回一次就遇到了它们的最近公共父节点

如果是代码分析中的情况2,或者p、q距离比较远,那么就继续回溯返回呗,反正如果都找不到这个满足条件的公共父节点,那最后的最近公共父节点就是最开始调用递归的那个节点,也就是根节点

找二叉搜索树的最近公共祖先就简单多了↓

二叉搜索树的最近公共祖先

力扣题目链接(opens new window)

给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为:“对于有根树 T 的两个结点 p、q,最近公共祖先表示为一个结点 x,满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大(一个节点也可以是它自己的祖先)。”

例如,给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

示例 1:

  • 输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
  • 输出: 6
  • 解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。

示例 2:

  • 输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4
  • 输出: 2
  • 解释: 节点 2 和节点 4 的最近公共祖先是 2, 因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:

  • 所有节点的值都是唯一的。
  • p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉搜索树中

思路

回想一下二叉搜索树的性质:

  • 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
  • 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
  • 它的左、右子树也分别为二叉搜索树

利用这个性质可以进一步得知

若当前节点A是其左右子节点p、q的最近公共父节点

如果p、q在当前根节点A的左子树,那么节点A的值应该会满足:

A.val > p.val && A.val > q.val,节点A的值大于p、q范围,要往更小的那边去遍历(即节点A的左子树)

同理,如果p、q在当前根节点A的右子树,那么节点A的值应该会满足:

A.val < p.val && A.val < q.val,节点A的值小于于p、q范围,要往更大的那边去遍历(即节点A的右子树)

总结一下上述描述:在二叉搜索树中寻找最近公共父节点是靠判断当前节点(父节点)与目标值p、q之间的大小关系来实现的

什么意思?举个例子

我们从 根节点10 开始遍历,此时的[p, q]是[1, 9](这里pq谁大谁小实际上是没有确定的),显然 根节点10 超出了[p, q]的范围,那么它就不可能是p、q的最近公共父节点,因此再往下遍历时,要走 根节点10 的左子树

(由于二叉搜索树的特性,其左子树里面的节点值均小于10,即有可能存在落在p、q区间内并且满足成为他们公共父节点的节点值)

遍历到 节点5 ,此时节点值已经落在[p, q]的范围内

如果继续向下遍历会出现以下结果:

  • 向左,错过p;
  • 向右,错过q;

因此,当我们在二叉搜索树里从上往下遍历时,如果遇到当前节点落在[p, q](或[q, p])里的情况,那么这个节点就是p、q的最近公共父节点

递归法

思路分析

1、确定递归函数的返回值和参数

这里我们不需要遍历整颗二叉树,且遇到满足条件的值就要返回,理论上来说应该是返回个bool就行了

但这里我们要找的是一个父节点,因此需要返回节点类型,传入参数与解题模板一致

class Solution {
public:
//确定递归函数的返回值和参数
TreeNode* traversal(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q){ } TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) { }
};

2、确定终止条件

因为题目规定了p、q一定存在,那么递归一定会自行结束,所以其实有无终止条件都行

理论上,我们可以设置:当cur指向NULL后就终止

class Solution {
public:
//确定递归函数的返回值和参数
TreeNode* traversal(TreeNode* cur, TreeNode* p, TreeNode* q){
if(cur == NULL) return NULL;
} TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) { }
};

3、确定单层处理逻辑

从上往下遍历就行,顺序不限(这里没有中节点的处理逻辑,遍历顺序无所谓了)

当我们遍历到当前某个节点,其落在p、q的范围内,那么就结束遍历,返回该节点

class Solution {
public:
//确定递归函数的返回值和参数
TreeNode* traversal(TreeNode* cur, TreeNode* p, TreeNode* q){
if(cur == NULL) return NULL;//确定终止条件 //当前值大于p、q范围,往左子树遍历
if(cur->val > p->val && cur->val > q->val){
TreeNode* left = traversal(cur->left, p, q);
//如果往左子树不断递归搜索,有返回值说明找到,此时可以直接将结果返回
if(left != NULL) return left;
} //当前值小于p、q范围,往右子树遍历
if(cur->val < p->val && cur->val < q->val){
TreeNode* left = traversal(cur->right, p, q);
//如果往右子树不断递归搜索,有返回值说明找到,此时可以直接将结果返回
if(right != NULL) return right;
}
//剩下的情况就是cur落到p、q范围内的情况,那么此时cur就是要找的节点,返回即可
return cur;
} TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) { }
};
完整代码
class Solution {
public:
//确定递归函数的返回值和参数
TreeNode* traversal(TreeNode* cur, TreeNode* p, TreeNode* q){
if(cur == NULL) return NULL;//确定终止条件 //当前值大于p、q范围,往左子树遍历
if(cur->val > p->val && cur->val > q->val){
TreeNode* left = traversal(cur->left, p, q);
//如果往左子树不断递归搜索,有返回值说明找到,此时可以直接将结果返回
if(left != NULL) return left;
} //当前值小于p、q范围,往右子树遍历
if(cur->val < p->val && cur->val < q->val){
TreeNode* right = traversal(cur->right, p, q);
//如果往右子树不断递归搜索,有返回值说明找到,此时可以直接将结果返回
if(right != NULL) return right;
}
//剩下的情况就是cur落到p、q范围内的情况,那么此时cur就是要找的节点,返回即可
return cur;
} TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
return traversal(root, p, q);
}
};

迭代法

本题的迭代解法最简单,推荐记忆

你二叉搜索树不是有顺序嘛,那我就直接从根节点开始一直往下遍历就好了

如果当前节点大于p、q范围,往左子树遍历

如果当前节点小于p、q范围,往右子树遍历

class Solution {
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
while(root){
if(root->val > q->val && root->val > p->val){
//当前节点大于p、q范围,往左子树遍历
root = root->left;
}else if(root->val < q->val && root->val < p->val){
//当前节点小于p、q范围,往右子树遍历
root = root->right;
}else{//在范围内
return root;
}
}
return NULL;
}
};

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